\[ \frac{\left(-\frac{4}{3}\right) - \left(-\frac{6}{5}\right) + \left(-\frac{3}{2}\right)}{\left(-\frac{3}{4}\right) - \left(-\frac{5}{6}\right) - \left(-\frac{2}{3}\right)} \]
\[ \frac{\frac{2}{9} \cdot \left(3 - \frac{7}{2}\right)}{\left(\frac{1}{3}\right)^{2} - \left(\frac{2}{3}\right)^{3}} \]
\[ \frac{\frac{5}{12} - \frac{4}{13}}{\frac{3}{13} + \frac{1}{12}} \]
\[ \frac{\left(+\frac{2}{5}\right) - \left(-\frac{4}{3}\right)}{\left(-\frac{12}{5}\right) \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^{3}} \]
\[ \frac{\left(-\frac{3}{2}\right) \div \left(\left(\frac{1}{3}\right) - \left(\frac{1}{2}\right)\right)}{\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\right) \div \left(-\frac{2}{3}\right)} \]
\[ \frac{\left(-\frac{1}{7}\right)^{2} \cdot \left(+\frac{7}{2}\right)^{2} \cdot (-1)^{3}}{(+6) - \left(+\frac{5}{2}\right)^{2}} \]
Réponses finales :
1. –98/45
2. 3/5
3. 17/49
4. 39/2
5. –36/5
6. 1
Nous allons simplifier chacune des expressions en détaillant chaque étape.
───────────────────────────── Exercice 1
On doit simplifier :
[(-4/3) – (–6/5) + (–3/2)] ÷ [(-3/4) – (–5/6) – (–2/3)]
Simplifions le numérateur : –4/3 – (–6/5) + (–3/2) = –4/3 + 6/5
– 3/2. Pour additionner ces fractions, trouvons un dénominateur
commun. Ici, le plus petit commun multiple de 3, 5 et 2 est 30. • –4/3
= –(4×10)/(3×10) = –40/30
• 6/5 = (6×6)/(5×6) = 36/30
• –3/2 = –(3×15)/(2×15) = –45/30
Ainsi, le numérateur devient :
–40/30 + 36/30 – 45/30 = (–40 + 36 – 45)/30 = –49/30.
Simplifions le dénominateur : –3/4 – (–5/6) – (–2/3) = –3/4 +
5/6 + 2/3. On cherche un dénominateur commun pour 4, 6 et 3. Le plus
petit commun multiple est 12. • –3/4 = –(3×3)/(4×3) = –9/12
• 5/6 = (5×2)/(6×2) = 10/12
• 2/3 = (2×4)/(3×4) = 8/12
Le dénominateur devient :
–9/12 + 10/12 + 8/12 = (–9 + 10 + 8)/12 = 9/12, qui se simplifie en
3/4.
Division des deux résultats :
L’expression simplifiée est
(–49/30) ÷ (3/4) = (–49/30) × (4/3) = –(49×4)/(30×3) = –196/90. On
simplifie en divisant le numérateur et le dénominateur par 2 :
–196/90 = –98/45.
Réponse de l’exercice 1 : –98/45.
───────────────────────────── Exercice 2
On doit simplifier :
[(2/9) × (3 – 7/2)] ÷ [(1/3)² – (2/3)³].
Calcul du numérateur : Calculez 3 – 7/2. On écrit 3 sous forme
de fraction sur 2 : 3 = 6/2
Donc, 6/2 – 7/2 = –1/2. Ensuite, (2/9) × (–1/2) = –2/18 =
–1/9.
Calcul du dénominateur : • (1/3)² = 1/9
• (2/3)³ = 8/27
Pour soustraire, mettons les fractions au même dénominateur. Écrivons
1/9 en 27èmes : 1/9 = 3/27.
Ainsi, 3/27 – 8/27 = –5/27.
Division des deux résultats : L’expression devient :
(–1/9) ÷ (–5/27).
On effectue la division en multipliant par l’inverse :
(–1/9) × (27/–5).
Remarquons que le produit de deux nombres négatifs est positif. On a
donc :
(1/9) × (27/5) = 27/(9×5) = 27/45, qui se simplifie en 3/5 en
divisant par 9 (27÷9 = 3 et 45÷9 = 5).
Réponse de l’exercice 2 : 3/5.
───────────────────────────── Exercice 3
On doit simplifier :
[(5/12) – (4/13)] ÷ [(3/13) + (1/12)].
Calcul du numérateur : Pour soustraire 5/12 et 4/13, cherchons
le dénominateur commun, qui est 12×13 = 156. • 5/12 = (5×13)/(12×13) =
65/156
• 4/13 = (4×12)/(13×12) = 48/156
Le numérateur devient : 65/156 – 48/156 = 17/156.
Calcul du dénominateur : Pour additionner 3/13 et 1/12, le
dénominateur commun est également 156. • 3/13 = (3×12)/(13×12) =
36/156
• 1/12 = (1×13)/(12×13) = 13/156
Le dénominateur devient : 36/156 + 13/156 = 49/156.
Division des deux résultats : On a donc : (17/156) ÷ (49/156) =
17/156 × 156/49.
Le 156 se simplifie, donnant : 17/49.
Réponse de l’exercice 3 : 17/49.
───────────────────────────── Exercice 4
On doit simplifier :
[(+2/5) – (–4/3)] ÷ [ (–12/5) × (–1/3)³].
Calcul du numérateur : (+2/5) – (–4/3) = 2/5 + 4/3. Pour
additionner, on cherche un dénominateur commun (le PPCM de 5 et 3 est
15) : • 2/5 = (2×3)/(5×3) = 6/15
• 4/3 = (4×5)/(3×5) = 20/15
Le numérateur devient : 6/15 + 20/15 = 26/15.
Calcul du dénominateur : On calcule d’abord (–1/3)³. (–1/3)³ = (–1)³/(3³) = –1/27. Ensuite, (–12/5) × (–1/27) = (12)/(5×27) car le produit de deux négatifs est positif. = 12/135, qui se simplifie en divisant numérateur et dénominateur par 3 : 12÷3 = 4 et 135÷3 = 45, soit 4/45.
Division des deux résultats : L’expression devient :
(26/15) ÷ (4/45) = (26/15) × (45/4). On peut simplifier 45/15 = 3,
donnant : (26×3)/4 = 78/4. Simplifiez en divisant par 2 : 78÷2 = 39 et
4÷2 = 2, donc 39/2.
Réponse de l’exercice 4 : 39/2.
───────────────────────────── Exercice 5
On doit simplifier :
{ [–3/2] ÷ [ (1/3) – (1/2) ] } ÷ { [ (1/3)+(1/2) ] ÷ (–2/3) }.
Calcul de la partie supérieure (numérateur de la grande fraction)
: a) Calcul de (1/3) – (1/2) :
Mettons ces fractions au même dénominateur, ici 6 :
1/3 = 2/6 et 1/2 = 3/6, donc 2/6 – 3/6 = –1/6. b) Division par
–1/6 :
–3/2 ÷ (–1/6) = –3/2 × (6/–1).
Attention aux signes : le produit de deux négatifs donne un
positif.
Ainsi, –3/2 × (6/–1) = 18/2 = 9.
Calcul de la partie inférieure (dénominateur de la grande
fraction) : a) Calcul de (1/3) + (1/2) :
Mise au même dénominateur (6) :
1/3 = 2/6 et 1/2 = 3/6, donc 2/6 + 3/6 = 5/6. b) Division par –2/3
:
5/6 ÷ (–2/3) = 5/6 × (3/–2) = 15/(–12) = –15/12. Simplifiez :
divisez par 3, –15/12 = –5/4.
Division finale des deux parties : L’expression devient : 9 ÷ (–5/4) = 9 × (–4/5) = –36/5.
Réponse de l’exercice 5 : –36/5.
───────────────────────────── Exercice 6
On doit simplifier :
[ (–1/7)² × (+7/2)² × (–1)³ ] ÷ [ 6 – (5/2)² ].
Calcul du numérateur : a) (–1/7)² = 1/49 (le carré d’un nombre négatif est positif). b) (7/2)² = 49/4. c) Le produit de ces deux résultats : 1/49 × 49/4 = 1/4. d) Multiplier par (–1)³ : (–1)³ = –1. Ainsi, le numérateur est : (1/4) × (–1) = –1/4.
Calcul du dénominateur : a) (5/2)² = 25/4. b) Soustraction
dans le dénominateur :
6 – 25/4. Pour soustraire, écrivez 6 sous forme de fraction avec
dénominateur 4 : 6 = 24/4. Donc, 24/4 – 25/4 = –1/4.
Division finale : L’expression devient : (–1/4) ÷ (–1/4) = 1, puisque la division d’un nombre par lui-même donne 1.
Réponse de l’exercice 6 : 1.
───────────────────────────── Récapitulatif des réponses
Chaque étape a permis de mettre en évidence les opérations élémentaires (addition, soustraction, multiplication, division) et la recherche de dénominateurs communs pour les fractions. Ces méthodes sont essentielles pour simplifier des expressions fractionnaires.