Exercice 157

Question : Effectue le calcul de manière la plus simple possible.

1. \(\dfrac{5}{12} \cdot \dfrac{9}{14}\)

2. \(\dfrac{20}{6} \cdot \dfrac{15}{21}\)

3. \(\dfrac{7}{11} \cdot \dfrac{22}{8}\)

4. \(\dfrac{23}{19} \cdot \dfrac{19}{10}\)

5. \(\dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{4}{17}\)

6. \(\dfrac{7}{16} \cdot \dfrac{20}{5}\)

7. \(\dfrac{10}{20} \cdot \dfrac{6}{10}\)

8. \(\dfrac{20}{18} \cdot \dfrac{12}{20}\)

9. \(-\dfrac{4}{12} \cdot \dfrac{8}{19}\)

10. \(\dfrac{25}{12} \cdot -\dfrac{16}{6}\)

11. \(-\dfrac{10}{20} \cdot -\dfrac{8}{17}\)

12. \(-\dfrac{20}{13} \cdot \dfrac{18}{22}\)

13. \(-\dfrac{4}{18} \cdot -\dfrac{15}{7}\)

14. \(\dfrac{12}{7} \cdot -\dfrac{7}{20}\)

15. \(\dfrac{18}{30} \cdot -\dfrac{15}{6}\)

16. \(-\dfrac{14}{9} \cdot -\dfrac{16}{6}\)

Réponse

Réponses : a) 15/56
b) 50/21
c) 7/4
d) 23/10
e) 16/119
f) 7/4
g) 3/10
h) 2/3
i) –8/57
j) –50/9
k) 4/17
l) –180/143
m) 10/21
n) –3/5
o) –3/2
p) 112/27

Corrigé détaillé

Nous allons résoudre chacune des multiplications de fractions en suivant les étapes classiques :

1. Multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
   
2. Réduire la fraction obtenue en simplifiant au maximum.

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a) Calcul de (5/12) · (9/14)
• Étape 1 : Multiplier les numérateurs et les dénominateurs
  Numérateur : 5 × 9 = 45
  Dénominateur : 12 × 14 = 168
  On obtient la fraction : 45/168
• Étape 2 : Simplifier 45/168
  On remarque que 45 et 168 sont divisibles par 3.
  45 ÷ 3 = 15  et  168 ÷ 3 = 56
  La fraction simplifiée est 15/56
Réponse a) : 15/56

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b) Calcul de (20/6) · (15/21)
• Étape 1 : Multiplier
  Numérateur : 20 × 15 = 300
  Dénominateur : 6 × 21 = 126
  On obtient : 300/126
• Étape 2 : Simplifier 300/126
  On peut diviser le numérateur et le dénominateur par 6 :
  300 ÷ 6 = 50  et  126 ÷ 6 = 21
  La fraction simplifiée est 50/21
Alternative : avant multiplication, on peut simplifier :
  20/6 = (10/3) et 15/21 = (5/7), donc
  (10/3) · (5/7) = 50/21
Réponse b) : 50/21

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c) Calcul de (7/11) · (22/8)
• Étape 1 : On peut simplifier avant de multiplier.
  Le 22 et le 11 se simplifient : 22 ÷ 11 = 2
  La multiplication devient : (7/1) · (2/8)
• Étape 2 : Multiplier
  Numérateur : 7 × 2 = 14
  Dénominateur : 1 × 8 = 8
  On obtient 14/8
• Étape 3 : Simplifier 14/8
  Diviser numérateur et dénominateur par 2 :
  14 ÷ 2 = 7  et  8 ÷ 2 = 4
  La fraction simplifiée est 7/4
Réponse c) : 7/4

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d) Calcul de (23/19) · (19/10)
• Étape 1 : On remarque que 19 apparaît au numérateur d’une fraction et au dénominateur de l’autre, donc ils se simplifient.
  On obtient : 23/1 × 1/10
• Étape 2 : Multiplier
  Numérateur : 23 × 1 = 23
  Dénominateur : 1 × 10 = 10
Réponse d) : 23/10

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e) Calcul de (4/7) · (4/17)
• Étape 1 : Multiplier directement
  Numérateur : 4 × 4 = 16
  Dénominateur : 7 × 17 = 119
• Étape 2 : Vérifier la simplification
  16 et 119 ne partagent aucun diviseur commun autre que 1.
Réponse e) : 16/119

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f) Calcul de (7/16) · (20/5)
• Étape 1 : Simplifier si possible
  20/5 peut se simplifier directement en 4, car 20 ÷ 5 = 4.
  La multiplication devient : (7/16) × 4
• Étape 2 : Effectuer la multiplication
  7 × 4 = 28  et  le dénominateur reste 16
  On obtient 28/16
• Étape 3 : Simplifier 28/16
  Diviser par 4 :
  28 ÷ 4 = 7  et  16 ÷ 4 = 4
Réponse f) : 7/4

─────────────────────────────
g) Calcul de (10/20) · (6/10)
• Étape 1 : Simplifier les fractions avant de multiplier
  10/20 = 1/2  et  6/10 = 3/5
• Étape 2 : Multiplier
  (1/2) × (3/5) = 3/10
Réponse g) : 3/10

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h) Calcul de (20/18) · (12/20)
• Étape 1 : Annuler les facteurs communs
  Le 20 apparaît à la fois au numérateur et au dénominateur, on peut l’annuler :
  (20/18) × (12/20) = (1/18) × 12 = 12/18
• Étape 2 : Simplifier 12/18
  Diviser par 6 ou par 2 puis par 3 :
  12 ÷ 6 = 2  et  18 ÷ 6 = 3
  La fraction simplifiée est 2/3
Réponse h) : 2/3

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i) Calcul de –(4/12) · (8/19)
• Étape 1 : Simplifier 4/12 en divisant numérateur et dénominateur par 4
  4 ÷ 4 = 1  et  12 ÷ 4 = 3
  On obtient –(1/3)
• Étape 2 : Multiplier
  –(1/3) × (8/19) = –8/57
Réponse i) : –8/57

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j) Calcul de (25/12) · –(16/6)
• Étape 1 : Multiplier directement en gardant le signe négatif
  Numérateur : 25 × (–16) = –400
  Dénominateur : 12 × 6 = 72
  On obtient –400/72
• Étape 2 : Simplifier –400/72
  Diviser par 8 :
  –400 ÷ 8 = –50  et  72 ÷ 8 = 9
Réponse j) : –50/9

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k) Calcul de –(10/20) · –(8/17)
• Remarque sur les signes : Un produit de deux nombres négatifs est positif.
• Étape 1 : Simplifier 10/20 en 1/2
  La multiplication devient (1/2) × (8/17)
• Étape 2 : Multiplier
  Numérateur : 1 × 8 = 8  et  Dénominateur : 2 × 17 = 34
  On obtient 8/34
• Étape 3 : Simplifier 8/34 en divisant par 2
  8 ÷ 2 = 4  et  34 ÷ 2 = 17
Réponse k) : 4/17

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l) Calcul de –(20/13) · (18/22)
• Étape 1 : Multiplier
  Numérateur : –20 × 18 = –360
  Dénominateur : 13 × 22 = 286
  On obtient –360/286
• Étape 2 : Simplifier en divisant par 2
  –360 ÷ 2 = –180  et  286 ÷ 2 = 143
  La fraction simplifiée est –180/143
Réponse l) : –180/143

─────────────────────────────
m) Calcul de –(4/18) · –(15/7)
• Remarque sur les signes : Le produit de deux nombres négatifs est positif.
• Étape 1 : Simplifier 4/18 en divisant par 2
  4 ÷ 2 = 2  et  18 ÷ 2 = 9
  La fraction devient 2/9
• Étape 2 : Multiplier
  (2/9) × (15/7) = 30/63
• Étape 3 : Simplifier 30/63
  Diviser numérateur et dénominateur par 3 :
  30 ÷ 3 = 10  et  63 ÷ 3 = 21
Réponse m) : 10/21

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n) Calcul de (12/7) · –(7/20)
• Étape 1 : Annuler le facteur commun 7
  Le 7 du numérateur de la deuxième fraction et le 7 du dénominateur de la première s’annulent
  Il reste : 12/1 × –1/20 = –12/20
• Étape 2 : Simplifier –12/20
  Diviser par 4 :
  12 ÷ 4 = 3  et  20 ÷ 4 = 5
  La fraction simplifiée est –3/5
Réponse n) : –3/5

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o) Calcul de (18/30) · –(15/6)
• Étape 1 : Simplifier chaque fraction
  18/30 peut se réduire en divisant par 6 : 18 ÷ 6 = 3 et 30 ÷ 6 = 5, soit 3/5
  15/6 se simplifie en divisant par 3 : 15 ÷ 3 = 5 et 6 ÷ 3 = 2, soit 5/2
  En gardant le signe négatif, –(15/6) = –5/2
• Étape 2 : Multiplier
  (3/5) × (–5/2) = –15/10
• Étape 3 : Simplifier –15/10
  Diviser par 5 :
  15 ÷ 5 = 3  et  10 ÷ 5 = 2
Réponse o) : –3/2

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p) Calcul de –(14/9) · –(16/6)
• Remarque sur les signes : Le produit de deux nombres négatifs est positif.
• Étape 1 : Multiplier
  Numérateur : 14 × 16 = 224
  Dénominateur : 9 × 6 = 54
  On obtient 224/54
• Étape 2 : Simplifier 224/54
  Diviser par 2 :
  224 ÷ 2 = 112  et  54 ÷ 2 = 27
  La fraction simplifiée est 112/27
Réponse p) : 112/27

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Récapitulatif des réponses :
a) 15/56
b) 50/21
c) 7/4
d) 23/10
e) 16/119
f) 7/4
g) 3/10
h) 2/3
i) –8/57
j) –50/9
k) 4/17
l) –180/143
m) 10/21
n) –3/5
o) –3/2
p) 112/27

Chaque étape a permis de simplifier le calcul et d’obtenir la forme réduite de la fraction.