Exercice 156
Question : Classe chacun des nombres ci-dessous dans la bonne
plage.
a)
- \(3{,}14\)
- \(\dfrac{-30}{5}\)
- \(7 - 2\sqrt{2}\)
- \(5^{3}\)
- \((-1)^{5}\)
- \(0,\overline{3}\)
- \(\dfrac{2}{5} -
\dfrac{1}{25}\)
- \(1\)
- \(\sqrt[3]{27}\)
- \(\sqrt{5}\)
- \(4{,}56789 \cdot 10^{4}\)
- \(-9\)
b)
- \(2 + \dfrac{4}{2 +
\dfrac{1}{3}}\)
- \(\dfrac{\sqrt{2}}{2
\sqrt{2}}\)
- \(\sqrt{5} \cdot \sqrt{20}\)
- \(\sqrt{10^{-3}}\)
- \(\dfrac{\sqrt{36}}{\sqrt{144}}\)
- \(-\dfrac{\sqrt{81}}{\sqrt{9}}\)
- \(50 \cdot 10^{-1}\)
- \(\dfrac{1}{10^{2}}\)
- \(2\pi^{2}\)
- \(\sqrt[3]{8}\)
- \(\dfrac{2 + \sqrt{6}}{3}\)
- \(5 \cdot 0,\overline{4}\)
Réponse
Résumé :
Les exercices ont été résolus en classant chaque nombre comme entier,
fraction, nombre décimal ou irrationnel. Chaque classification a été
justifiée par des calculs précis ou des propriétés mathématiques
appropriées.
Corrigé détaillé
Correction des
Exercices de Mathématiques
Question a)
Classe chacun des nombres ci-dessous dans la bonne
plage.
Nous allons examiner chaque nombre un par un, déterminer sa nature
(entier, fraction, nombre décimal, irrationnel, etc.) et le classer dans
la plage appropriée.
1. \(3{,}14\)
- Calcul : Il s’agit d’un nombre décimal.
- Classification : Nombre
décimal.
- Explication : Le nombre \(3{,}14\) est écrit avec une partie entière
(3) et une partie décimale (14), ce qui en fait un nombre décimal.
2. \(\dfrac{-30}{5}\)
- Calcul : \(\dfrac{-30}{5}
= -6\)
- Classification : Entier.
- Explication : Après simplification, le résultat est
\(-6\), qui est un nombre entier.
3. \(7 -
2\sqrt{2}\)
- Calcul : \(\sqrt{2}
\approx 1{,}414\), donc \(2\sqrt{2}
\approx 2{,}828\), et \(7 - 2{,}828
\approx 4{,}172\)
- Classification : Nombre
irrationnel.
- Explication : \(\sqrt{2}\) est un nombre irrationnel. Même
si le résultat approximatif est un nombre décimal, \(7 - 2\sqrt{2}\) reste un nombre
irrationnel.
4. \(5^{3}\)
- Calcul : \(5^{3} = 5
\times 5 \times 5 = 125\)
- Classification : Entier.
- Explication : Le résultat de \(5^{3}\) est \(125\), qui est un nombre entier
positif.
5. \((-1)^{5}\)
- Calcul : \((-1)^{5} =
-1\)
- Classification : Entier
négatif.
- Explication : Élever \(-1\) à une puissance impaire donne \(-1\), un entier négatif.
6. \(0,\overline{3}\)
- Calcul : \(0,\overline{3}
= 0{,}333\ldots = \dfrac{1}{3}\)
- Classification : Fraction.
- Explication : Le nombre décimal périodique \(0,\overline{3}\) correspond à la fraction
\(\dfrac{1}{3}\).
7. \(\dfrac{2}{5}
- \dfrac{1}{25}\)
- Calcul : \(\dfrac{2}{5} =
\dfrac{10}{25}\), donc \(\dfrac{10}{25}
- \dfrac{1}{25} = \dfrac{9}{25}\)
- Classification : Fraction.
- Explication : La soustraction de deux fractions
donne une autre fraction simplifiée \(\dfrac{9}{25}\).
8. \(1\)
- Calcul : \(1\) est
un nombre entier.
- Classification : Entier.
- Explication : \(1\) est un entier positif.
9. \(\sqrt[3]{27}\)
- Calcul : \(\sqrt[3]{27} =
3\) car \(3^{3} = 27\)
- Classification : Entier.
- Explication : La racine cubique de \(27\) est \(3\), un entier positif.
10. \(\sqrt{5}\)
- Calcul : \(\sqrt{5}
\approx 2{,}236\)
- Classification : Nombre
irrationnel.
- Explication : \(\sqrt{5}\) ne peut pas être exprimé comme
une fraction exacte et est donc irrationnel.
11. \(4{,}56789 \cdot
10^{4}\)
- Calcul : \(4{,}56789
\times 10^{4} = 45\,678{,}9\)
- Classification : Nombre
décimal.
- Explication : En multipliant par \(10^{4}\), on obtient un nombre décimal avec
une partie entière et une partie décimale.
12. \(-9\)
- Calcul : \(-9\)
est un entier négatif.
- Classification : Entier
négatif.
- Explication : \(-9\) est un entier appartenant aux nombres
entiers négatifs.
Question b)
Classe chacun des nombres ci-dessous dans la bonne
plage.
Nous analyserons chaque expression pour déterminer sa nature et la
classer correctement.
1. \(2 + \dfrac{4}{2
+ \dfrac{1}{3}}\)
- Calcul :
- Calculons le dénominateur : \(2 +
\dfrac{1}{3} = \dfrac{6}{3} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{3}\)
- Donc, \(\dfrac{4}{\dfrac{7}{3}} = \dfrac{4
\times 3}{7} = \dfrac{12}{7}\)
- Ensuite, \(2 + \dfrac{12}{7} =
\dfrac{14}{7} + \dfrac{12}{7} = \dfrac{26}{7}\)
- Classification : Fraction.
- Explication : Après simplification, l’expression
vaut \(\dfrac{26}{7}\), qui est une
fraction.
2. \(\dfrac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}\)
- Calcul : \(\dfrac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2}} =
\dfrac{1}{2}\)
- Classification : Fraction.
- Explication : En simplifiant, les termes \(\sqrt{2}\) se réduisent, laissant \(\dfrac{1}{2}\), une fraction.
3. \(\sqrt{5} \cdot
\sqrt{20}\)
- Calcul :
- \(\sqrt{5} \cdot \sqrt{20} = \sqrt{5
\times 20} = \sqrt{100} = 10\)
- Classification : Entier.
- Explication : La multiplication des deux racines
carrées donne \(\sqrt{100}\),
équivalent à \(10\), un entier.
4. \(\sqrt{10^{-3}}\)
- Calcul : \(\sqrt{10^{-3}}
= 10^{-3/2} = \dfrac{1}{10^{3/2}} = \dfrac{1}{10 \sqrt{10}} \approx
0{,}0316\)
- Classification : Nombre
décimal.
- Explication : La racine carrée de \(10^{-3}\) donne un nombre décimal
positif.
5. \(\dfrac{\sqrt{36}}{\sqrt{144}}\)
- Calcul : \(\sqrt{36} =
6\) et \(\sqrt{144} = 12\), donc
\(\dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}\)
- Classification : Fraction.
- Explication : En simplifiant, l’expression vaut
\(\dfrac{1}{2}\), une fraction.
6. \(-\dfrac{\sqrt{81}}{\sqrt{9}}\)
- Calcul : \(\sqrt{81} =
9\) et \(\sqrt{9} = 3\), donc
\(-\dfrac{9}{3} = -3\)
- Classification : Entier
négatif.
- Explication : La simplification donne \(-3\), un entier négatif.
7. \(50 \cdot
10^{-1}\)
- Calcul : \(50 \times
10^{-1} = \dfrac{50}{10} = 5\)
- Classification : Entier.
- Explication : Multiplier par \(10^{-1}\) équivaut à diviser par 10,
donnant le nombre entier \(5\).
8. \(\dfrac{1}{10^{2}}\)
- Calcul : \(10^{2} =
100\), donc \(\dfrac{1}{100} =
0{,}01\)
- Classification : Fraction.
- Explication : L’expression représente \(\dfrac{1}{100}\), une fraction équivalente
à un nombre décimal.
9. \(2\pi^{2}\)
- Calcul : \(\pi \approx
3{,}1416\), donc \(\pi^{2} \approx
9{,}8696\), et \(2\pi^{2} \approx
19{,}7392\)
- Classification : Nombre
irrationnel.
- Explication : \(\pi\) étant un nombre irrationnel, toute
expression impliquant \(\pi\) reste
irrationnelle.
10. \(\sqrt[3]{8}\)
- Calcul : \(\sqrt[3]{8} =
2\) car \(2^{3} = 8\)
- Classification : Entier.
- Explication : La racine cubique de \(8\) est \(2\), un entier positif.
11. \(\dfrac{2 +
\sqrt{6}}{3}\)
- Calcul : \(\sqrt{6}
\approx 2{,}449\), donc \(2 + 2{,}449 =
4{,}449\), et \(\dfrac{4{,}449}{3}
\approx 1{,}483\)
- Classification : Nombre
irrationnel.
- Explication : \(\sqrt{6}\) est irrationnel, et la somme
avec un nombre rationnel reste irrationnelle. La division par \(3\) ne change pas cette propriété.
12. \(5 \cdot
0,\overline{4}\)
- Calcul : \(0,\overline{4}
= \dfrac{4}{9}\), donc \(5 \times
\dfrac{4}{9} = \dfrac{20}{9}\)
- Classification : Fraction.
- Explication : Multiplicant un entier par une
fraction périodique, le résultat est la fraction \(\dfrac{20}{9}\).
Conclusion
Chaque nombre a été analysé en détail pour déterminer sa
classification appropriée. Cette méthode permet de mieux comprendre la
nature des nombres et leurs propriétés dans différentes plages
mathématiques.