Remplis les cases manquantes avec les écritures décimales.
| \(\cdot\) | 0,2 | 0,4 | 0,6 | 0,8 | 1,0 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0,2 | |||||
| 0,4 | |||||
| 0,6 | |||||
| 0,8 | |||||
| 1,0 |
Remplis les cases manquantes avec les écritures fractionnaires.
| \(\cdot\) | \(\dfrac{1}{5}\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{3}{5}\) | \(\dfrac{2}{3}\) | \(\dfrac{4}{5}\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\dfrac{1}{5}\) | |||||
| \(\dfrac{1}{2}\) | |||||
| \(\dfrac{3}{5}\) | |||||
| \(\dfrac{2}{3}\) | |||||
| \(\dfrac{4}{5}\) |
Remplis les cases manquantes avec les écritures les plus adaptées.
| \(\cdot\) | \(0,\overline{5}\) | 0,3 | 1,2 | \(\dfrac{3}{4}\) | 0,8 | 0,6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0,4 | ||||||
| \(\dfrac{2}{3}\) | ||||||
| \(0,\overline{2}\) | ||||||
| 1,5 | ||||||
| \(\dfrac{5}{2}\) | ||||||
| 0,7 | ||||||
| 0,5 |
L’exercice consiste à remplir deux tableaux en multipliant chaque entête de ligne par celle de colonne et en simplifiant le résultat (en écriture décimale, fractionnaire ou décimale périodique selon le cas) ; puis à compléter un troisième tableau où les nombres, donnés sous diverses écritures, sont convertis et multipliés de la même manière pour choisir la forme d’expression la plus simple et claire pour chaque produit.
Nous allons résoudre cet exercice en trois parties. Dans la première partie, nous compléterons deux tableaux de multiplications (un avec des nombres décimaux et l’autre avec des fractions). Dans la seconde partie, nous compléterons un tableau de multiplications où les nombres sont présentés sous différentes écritures. Pour chacune des cases, nous multiplions simplement le nombre figurant sur la ligne par celui figurant sur la colonne et nous écrivons le résultat dans une écriture qui paraît la plus adaptée (décimale ou fractionnaire, ou encore avec une écriture périodique lorsqu’il s’agit de décimales répétitives).
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A) Compléter les tableaux
Les entêtes (lignes et colonnes) sont : 0,2 ; 0,4 ; 0,6 ; 0,8 ; 1,0. Pour chaque case, on calcule le produit. Rappelons que 0,2 × 0,2 par exemple se calcule ainsi : 0,2 × 0,2 = 0,04.
Voici le détail ligne par ligne :
• Pour la ligne commençant par 0,2 : – 0,2 × 0,2 = 0,04
– 0,2 × 0,4 = 0,08
– 0,2 × 0,6 = 0,12
– 0,2 × 0,8 = 0,16
– 0,2 × 1,0 = 0,20
• Pour la ligne commençant par 0,4 : – 0,4 × 0,2 = 0,08
– 0,4 × 0,4 = 0,16
– 0,4 × 0,6 = 0,24
– 0,4 × 0,8 = 0,32
– 0,4 × 1,0 = 0,40
• Pour la ligne commençant par 0,6 : – 0,6 × 0,2 = 0,12
– 0,6 × 0,4 = 0,24
– 0,6 × 0,6 = 0,36
– 0,6 × 0,8 = 0,48
– 0,6 × 1,0 = 0,60
• Pour la ligne commençant par 0,8 : – 0,8 × 0,2 = 0,16
– 0,8 × 0,4 = 0,32
– 0,8 × 0,6 = 0,48
– 0,8 × 0,8 = 0,64
– 0,8 × 1,0 = 0,80
• Pour la ligne commençant par 1,0 : – 1,0 × 0,2 = 0,20
– 1,0 × 0,4 = 0,40
– 1,0 × 0,6 = 0,60
– 1,0 × 0,8 = 0,80
– 1,0 × 1,0 = 1,00
Ainsi, le tableau complété sera :
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0,2 0,04 0,08 0,12 0,16 0,20
0,4 0,08 0,16 0,24 0,32 0,40
0,6 0,12 0,24 0,36 0,48 0,60
0,8 0,16 0,32 0,48 0,64 0,80
1,0 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00
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2) Tableau – Écritures fractionnaires
Les entêtes sont : 1/5 ; 1/2 ; 3/5 ; 2/3 ; 4/5. Pour chaque case, nous multiplions les fractions. Rappel : pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
Détaillons chaque ligne :
• Pour la ligne 1/5 : – (1/5) × (1/5) = 1/25
– (1/5) × (1/2) = 1/10
– (1/5) × (3/5) = 3/25
– (1/5) × (2/3) = 2/15
– (1/5) × (4/5) = 4/25
• Pour la ligne 1/2 : – (1/2) × (1/5) = 1/10
– (1/2) × (1/2) = 1/4
– (1/2) × (3/5) = 3/10
– (1/2) × (2/3) = 2/6 = 1/3
– (1/2) × (4/5) = 4/10, que l’on simplifie en 2/5
• Pour la ligne 3/5 : – (3/5) × (1/5) = 3/25
– (3/5) × (1/2) = 3/10
– (3/5) × (3/5) = 9/25
– (3/5) × (2/3) = 6/15, qui se simplifie en 2/5
– (3/5) × (4/5) = 12/25
• Pour la ligne 2/3 : – (2/3) × (1/5) = 2/15
– (2/3) × (1/2) = 2/6 = 1/3
– (2/3) × (3/5) = 6/15, soit 2/5
– (2/3) × (2/3) = 4/9
– (2/3) × (4/5) = 8/15
• Pour la ligne 4/5 : – (4/5) × (1/5) = 4/25
– (4/5) × (1/2) = 4/10, qu’on simplifie en 2/5
– (4/5) × (3/5) = 12/25
– (4/5) × (2/3) = 8/15
– (4/5) × (4/5) = 16/25
Le tableau complété s’écrit donc :
1/5 1/2 3/5 2/3 4/5
1/5 1/25 1/10 3/25 2/15 4/25
1/2 1/10 1/4 3/10 1/3 2/5
3/5 3/25 3/10 9/25 2/5 12/25
2/3 2/15 1/3 2/5 4/9 8/15
4/5 4/25 2/5 12/25 8/15 16/25
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B) Compléter le tableau avec les écritures appropriées
Ici, la table comporte des nombres sous différentes écritures. Pour plus de clarté, nous commençons par identifier chacun des nombres en les transformant en fractions, si nécessaire, ou en écriture décimale habituelle.
Les nombres présents en entête de colonnes sont :
• Colonne 1 : 0, overline{5}
Remarque : 0, overline{5} représente un numérique décimal périodique
qui se convertit en fraction 5/9.
• Colonne 2 : 0,3 (ce qui vaut 3/10)
• Colonne 3 : 1,2 (= 6/5)
• Colonne 4 : 3/4
• Colonne 5 : 0,8 (= 4/5)
• Colonne 6 : 0,6 (= 3/5)
Les nombres en entête de lignes sont :
• Ligne 1 : 0,4 (= 2/5)
• Ligne 2 : 2/3
• Ligne 3 : 0, overline{2}
(Remarque : 0, overline{2} = 2/9)
• Ligne 4 : 1,5 (= 3/2)
• Ligne 5 : 5/2
• Ligne 6 : 0,7 (= 7/10)
• Ligne 7 : 0,5 (= 1/2)
Pour chaque case, nous effectuerons la multiplication en utilisant la forme fractionnaire puis nous déciderons de l’écritures la plus adaptée (décimale lorsqu’il s’agit d’un nombre à développement fini ou périodique, ou fraction si l’écriture est plus simple).
Nous procédons ligne par ligne :
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Ligne 1 : 0,4 (soit 2/5)
Colonne 1 (0,overline{5} = 5/9)
Calcul : (2/5) × (5/9) = (2×5)/(5×9) = 10/45 = 2/9
Comme 2/9 s’exprime en décimal périodique (0,222…), nous pouvons écrire
: 0, overline{2}.
Colonne 2 (0,3 = 3/10)
Calcul : (2/5) × (3/10) = 6/50 = 3/25
Ici 3/25 = 0,12 (écriture décimale exacte).
Colonne 3 (1,2 = 6/5)
Calcul : (2/5) × (6/5) = 12/25 = 0,48.
Colonne 4 (3/4)
Calcul : (2/5) × (3/4) = 6/20 = 3/10 = 0,3.
Colonne 5 (0,8 = 4/5)
Calcul : (2/5) × (4/5) = 8/25 = 0,32.
Colonne 6 (0,6 = 3/5)
Calcul : (2/5) × (3/5) = 6/25 = 0,24.
Résumé ligne 1 :
0, overline{2} 0,12 0,48 0,3 0,32 0,24
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Ligne 2 : 2/3
Colonne 1 : (2/3) × (5/9) = 10/27
Le résultat 10/27 ne se simplifie pas en notation décimale courte, il
est préférable de le laisser sous forme de fraction.
Colonne 2 : (2/3) × (3/10) = 6/30 = 1/5
Or 1/5 = 0,2 en écriture décimale.
Colonne 3 : (2/3) × (6/5) = 12/15 = 4/5 = 0,8.
Colonne 4 : (2/3) × (3/4) = 6/12 = 1/2 = 0,5.
Colonne 5 : (2/3) × (4/5) = 8/15
Il est préférable de conserver 8/15 (écriture fractionnaire) car la
décimale donnerait un développement périodique.
Colonne 6 : (2/3) × (3/5) = 6/15 = 2/5 = 0,4.
Résumé ligne 2 :
10/27 0,2 0,8 0,5 8/15 0,4
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Ligne 3 : 0, overline{2} (soit 2/9)
Colonne 1 : (2/9) × (5/9) = 10/81
On garde 10/81 en fraction.
Colonne 2 : (2/9) × (3/10) = 6/90 = 1/15
On laisse 1/15 en fraction.
Colonne 3 : (2/9) × (6/5) = 12/45 = 4/15
On écrit 4/15.
Colonne 4 : (2/9) × (3/4) = 6/36 = 1/6
On écrit 1/6.
Colonne 5 : (2/9) × (4/5) = 8/45
On conserve 8/45.
Colonne 6 : (2/9) × (3/5) = 6/45 = 2/15
On obtient 2/15.
Résumé ligne 3 :
10/81 1/15 4/15 1/6 8/45 2/15
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Ligne 4 : 1,5 (soit 3/2)
Colonne 1 : (3/2) × (5/9) = 15/18 = 5/6
On garde 5/6 (équivalent à 0,83…).
Colonne 2 : (3/2) × (3/10) = 9/20 = 0,45 exactement.
Colonne 3 : (3/2) × (6/5) = 18/10 = 9/5 = 1,8.
Colonne 4 : (3/2) × (3/4) = 9/8
Il est simple d’écrire 9/8 (ce qui équivaut à 1,125).
Colonne 5 : (3/2) × (4/5) = 12/10 = 6/5 = 1,2.
Colonne 6 : (3/2) × (3/5) = 9/10 = 0,9.
Résumé ligne 4 :
5/6 9/20 9/5 9/8 6/5 9/10
─────────────────────────────
Ligne 5 : 5/2
Colonne 1 : (5/2) × (5/9) = 25/18
On écrit 25/18.
Colonne 2 : (5/2) × (3/10) = 15/20 = 3/4 = 0,75.
Colonne 3 : (5/2) × (6/5) = 30/10 = 3.
Colonne 4 : (5/2) × (3/4) = 15/8
On garde 15/8.
Colonne 5 : (5/2) × (4/5) = 20/10 = 2.
Colonne 6 : (5/2) × (3/5) = 15/10 = 3/2 = 1,5.
Résumé ligne 5 :
25/18 3/4 3 15/8 2 3/2
─────────────────────────────
Ligne 6 : 0,7 (soit 7/10)
Colonne 1 : (7/10) × (5/9) = 35/90 = 7/18.
Colonne 2 : (7/10) × (3/10) = 21/100 = 0,21.
Colonne 3 : (7/10) × (6/5) = 42/50 = 21/25 = 0,84.
Colonne 4 : (7/10) × (3/4) = 21/40 = 0,525.
Colonne 5 : (7/10) × (4/5) = 28/50 = 14/25 = 0,56.
Colonne 6 : (7/10) × (3/5) = 21/50 = 0,42.
Résumé ligne 6 :
7/18 21/100 21/25 21/40 14/25 21/50
─────────────────────────────
Ligne 7 : 0,5 (soit 1/2)
Colonne 1 : (1/2) × (5/9) = 5/18.
Colonne 2 : (1/2) × (3/10) = 3/20 = 0,15.
Colonne 3 : (1/2) × (6/5) = 6/10 = 3/5 = 0,6.
Colonne 4 : (1/2) × (3/4) = 3/8 = 0,375.
Colonne 5 : (1/2) × (4/5) = 4/10 = 0,4.
Colonne 6 : (1/2) × (3/5) = 3/10 = 0,3.
Résumé ligne 7 :
5/18 3/20 3/5 3/8 0,4 0,3
─────────────────────────────
Récapitulatif du tableau de la partie B :
Colonnes (de gauche à droite) :
0, overline{5} 0,3 1,2 3/4 0,8 0,6
Lignes :
─────────────────────────────
Explications complémentaires
• Pour chaque cellule, la méthode consiste à multiplier le nombre de
la ligne par celui de la colonne.
• Lorsqu’une fraction ainsi obtenue se simplifie facilement ou permet
d’écrire un nombre décimal exact, nous adoptons l’écriture
décimale.
• Si le résultat est mieux exprimé par une fraction (notamment lorsque
la décimale obtenue présente une répétition), nous la laissons en forme
fractionnaire ou nous utilisons la notation décimale périodique (par
exemple 0, overline{2} pour 2/9).
Cette démarche pas à pas permet de remplir l’ensemble des tableaux en choisissant pour chaque produit l’écriture qui rend le résultat le plus clair et le plus simple à comprendre.