Exercice 142

Question : Calcule les valeurs de \(D\), \(E\) et \(F\) définies par :

\[ D = -\frac{9}{10} \times \frac{5}{12} \times \left| E \right| \]

\[ E = \frac{6}{28} + \frac{9}{14} \]

\[ F = \frac{17}{34} - \frac{4}{51} \]

Réponse

Les solutions de l’exercice sont :

• \(E = \frac{6}{7}\)
• \(D = -\frac{9}{28}\)
• \(F = \frac{43}{102}\)

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

Calculons les valeurs de \(D\), \(E\) et \(F\) une par une en suivant les définitions données.

1. Calcul de \(E\)

Énoncé : \[ E = \frac{6}{28} + \frac{9}{14} \]

Étapes de calcul :

1. Simplifier les fractions si possible :

   • \(\frac{6}{28}\) peut être simplifiée en divisant le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur, qui est 2 : \[ \frac{6}{28} = \frac{6 \div 2}{28 \div 2} = \frac{3}{14} \]
   • \(\frac{9}{14}\) est déjà irréductible.

2. Additionner les deux fractions : \[ E = \frac{3}{14} + \frac{9}{14} \] Les deux fractions ont le même dénominateur, donc on additionne simplement les numérateurs : \[ E = \frac{3 + 9}{14} = \frac{12}{14} \]

3. Simplifier la fraction obtenue : \[ \frac{12}{14} = \frac{12 \div 2}{14 \div 2} = \frac{6}{7} \]

Conclusion : \[ E = \frac{6}{7} \]

2. Calcul de \(D\)

Énoncé : \[ D = -\frac{9}{10} \times \frac{5}{12} \times \left| E \right| \]

Étapes de calcul :

1. Calculer la valeur absolue de \(E\) : \[ |E| = \left| \frac{6}{7} \right| = \frac{6}{7} \] (Comme \(E\) est positif, sa valeur absolue est égale à lui-même.)

2. Multiplication des fractions : \[ D = -\frac{9}{10} \times \frac{5}{12} \times \frac{6}{7} \] Multiplions les fractions une par une :

   • D’abord, multiplions \(\frac{9}{10}\) par \(\frac{5}{12}\) : \[ \frac{9}{10} \times \frac{5}{12} = \frac{9 \times 5}{10 \times 12} = \frac{45}{120} \] Simplifions \(\frac{45}{120}\) en divisant par 15 : \[ \frac{45}{120} = \frac{3}{8} \]

   • Ensuite, multiplions le résultat par \(\frac{6}{7}\) : \[ \frac{3}{8} \times \frac{6}{7} = \frac{3 \times 6}{8 \times 7} = \frac{18}{56} \] Simplifions \(\frac{18}{56}\) en divisant par 2 : \[ \frac{18}{56} = \frac{9}{28} \]

3. Appliquer le signe négatif : \[ D = -\frac{9}{28} \]

Conclusion : \[ D = -\frac{9}{28} \]

3. Calcul de \(F\)

Énoncé : \[ F = \frac{17}{34} - \frac{4}{51} \]

Étapes de calcul :

1. Simplifier les fractions si possible :

   • \(\frac{17}{34}\) peut être simplifiée en divisant le numérateur et le dénominateur par 17 : \[ \frac{17}{34} = \frac{17 \div 17}{34 \div 17} = \frac{1}{2} \]
   • \(\frac{4}{51}\) est déjà irréductible.

2. Trouver un dénominateur commun : Pour soustraire les fractions, elles doivent avoir le même dénominateur. Le dénominateur commun de 2 et 51 est 102.

3. Représenter chaque fraction avec le dénominateur commun :

   • Convertissons \(\frac{1}{2}\) en \(\frac{51}{102}\) : \[ \frac{1}{2} = \frac{1 \times 51}{2 \times 51} = \frac{51}{102} \]
   • Convertissons \(\frac{4}{51}\) en \(\frac{8}{102}\) : \[ \frac{4}{51} = \frac{4 \times 2}{51 \times 2} = \frac{8}{102} \]

4. Effectuer la soustraction : \[ F = \frac{51}{102} - \frac{8}{102} = \frac{51 - 8}{102} = \frac{43}{102} \] Cette fraction est déjà irréductible.

Conclusion : \[ F = \frac{43}{102} \]