Une personne dépense les trois septièmes de ce qu’elle a dans son portefeuille, puis elle dépense les trois quarts de ce qui lui reste. Lors d’un troisième achat, elle dépense encore les quatre cinquièmes du second reste. Il lui reste alors \(15,25\,\mathrm{fr}\). Quelle somme avait-elle avant de faire ses achats ?
La somme initiale était de 533,75 francs.
Pour déterminer la somme initiale que la personne avait dans son portefeuille avant de faire ses achats, procédons étape par étape en utilisant des fractions pour représenter les dépenses successives.
Soit \(x\) la somme initiale que la personne possède dans son portefeuille.
La personne dépense les trois septièmes de sa somme initiale.
\[ \text{Montant dépensé} = \frac{3}{7}x \]
Il lui reste donc :
\[ \text{Reste après le premier achat} = x - \frac{3}{7}x = \frac{4}{7}x \]
Ensuite, elle dépense les trois quarts de ce qui lui reste.
\[ \text{Montant dépensé} = \frac{3}{4} \left( \frac{4}{7}x \right) = \frac{3}{4} \times \frac{4}{7}x = \frac{3}{7}x \]
Il lui reste donc :
\[ \text{Reste après le deuxième achat} = \frac{4}{7}x - \frac{3}{7}x = \frac{1}{7}x \]
Lors du troisième achat, elle dépense les quatre cinquièmes du reste après le deuxième achat.
\[ \text{Montant dépensé} = \frac{4}{5} \left( \frac{1}{7}x \right) = \frac{4}{5} \times \frac{1}{7}x = \frac{4}{35}x \]
Il lui reste donc :
\[ \text{Reste après le troisième achat} = \frac{1}{7}x - \frac{4}{35}x = \frac{5}{35}x - \frac{4}{35}x = \frac{1}{35}x \]
On sait qu’après tous les achats, il lui reste \(15,25\,\mathrm{fr}\). Donc :
\[ \frac{1}{35}x = 15,25 \]
Pour trouver \(x\), multiplions les deux côtés de l’équation par 35 :
\[ x = 15,25 \times 35 \]
Calculons cette multiplication :
\[ 15 \times 35 = 525 \] \[ 0,25 \times 35 = 8,75 \] \[ x = 525 + 8,75 = 533,75\,\mathrm{fr} \]
La personne avait initialement 533,75 francs dans son portefeuille avant de faire ses achats.