Effectuer les divisions suivantes et donner le résultat sous une forme aussi simple que possible :
\(\frac{13 a^{4} b^{4}}{7 x^{4} y^{7}} : \frac{169 a^{7} b^{6}}{49 x^{12} y^{4}}\)
\(\frac{0,4 a^{5} b c^{7}}{36 x^{4} y^{7} c^{5}} : \frac{48 a^{12} b^{4}}{42 x^{7} y^{12} b^{7}}\)
\(\frac{7 a^{5} b^{4}}{3 x^{3} y^{5}} : \left(-\frac{7 a^{5} b^{4}}{9 x^{3} y^{7}}\right)\)
\(\frac{1,2 u^{4} v^{5}}{3,4 w^{5}} : \left(-\frac{0,4 u^{7} v^{12}}{1,7 w^{10} z}\right)\)
\(-\frac{3 a^{3} b^{5}}{4 x^{7} y^{9}} : \left(-\frac{36 a^{6} b^{10}}{0,2 x^{12}}\right)\)
\(\frac{7 a^{3} b^{4}}{3 x^{9} y^{5}} : -\frac{49 a^{7} b^{7}}{9 x^{12} y^{4}}\)
Réponses finales :
Nous allons effectuer chacune des divisions en transformant l’opération en une multiplication par l’inverse (la fraction réciproque) puis en simplifiant étape par étape.
────────────────────────────── Exercice 1)
On doit calculer :
(13 a⁴ b⁴)/(7 x⁴ y⁷) ÷ (169 a⁷ b⁶)/(49 x¹² y⁴)
Première étape : transformer la division en multiplication par l’inverse de la deuxième fraction.
= (13 a⁴ b⁴)/(7 x⁴ y⁷) × (49 x¹² y⁴)/(169 a⁷ b⁶)
• Simplifions d’abord les constantes numériques :
Constante = (13 × 49)/(7 × 169)
Remarquez que 169 = 13² et 49 = 7². Ainsi :
(13 × 49) = 13 × 7² et (7 × 169) = 7 × 13².
On annule un facteur 13 et un facteur 7 :
Constante = (7)/(13).
• Simplifions ensuite chaque groupe de variables :
– Pour a : a⁴/a⁷ = a^(4–7) = a^(–3) ⇒ 1/a³
– Pour b : b⁴/b⁶ = b^(4–6) = b^(–2) ⇒ 1/b²
– Pour x : x¹²/x⁴ = x^(12–4) = x⁸
– Pour y : y⁴/y⁷ = y^(4–7) = y^(–3) ⇒ 1/y³
Ainsi, le résultat s’écrit :
= (7/13) × (x⁸)/(a³ b² y³)
Réponse finale :
(7 x⁸)/(13 a³ b² y³)
────────────────────────────── Exercice 2)
On doit calculer :
(0,4 a⁵ b c⁷)/(36 x⁴ y⁷ c⁵) ÷ (48 a¹² b⁴)/(42 x⁷ y¹² b⁷)
Comme précédemment, on écrit :
= (0,4 a⁵ b c⁷)/(36 x⁴ y⁷ c⁵) × (42 x⁷ y¹² b⁷)/(48 a¹² b⁴)
Avant de traiter les variables, commençons par les constantes numériques.
On a 0,4, 36, 42 et 48. Pour éviter les décimales, écrivez 0,4 = 2/5.
La partie constante est :
(2/5) × (42) ÷ (36 × 48) = (2 × 42)/(5 × 36 × 48)
Calculez le numérateur : 2 × 42 = 84.
Calculez le dénominateur : 5 × 36 × 48. On peut multiplier 36 × 48 : 36 × 48 = 1728, ainsi le dénominateur vaut 5 × 1728 = 8640.
Dès lors :
Constante = 84/8640
Simplifions en divisant numérateur et dénominateur par 12 :
84 ÷ 12 = 7 et 8640 ÷ 12 = 720.
Donc, la constante se réduit à 7/720.
– Pour a : a⁵/a¹² = a^(5–12) = a^(–7) = 1/a⁷
– Pour b : Dans le numérateur de la première fraction on a b (exposant
1). Dans le numérateur de la fraction réciproque nous avons b⁷ et dans
le dénominateur b⁴. Ainsi : Exposant total pour b = 1 + 7 – 4 = 4,
donc b⁴. – Pour c : c⁷/c⁵ = c^(7–5) = c²
– Pour x : x⁷/x⁴ = x^(7–4) = x³
– Pour y : y¹²/y⁷ = y^(12–7) = y⁵
Le produit devient :
= (7/720) × (x³ y⁵ b⁴ c²)/(a⁷)
Réponse finale :
(7 x³ y⁵ b⁴ c²)/(720 a⁷)
────────────────────────────── Exercice 3)
On doit calculer :
(7 a⁵ b⁴)/(3 x³ y⁵) ÷ [–(7 a⁵ b⁴)/(9 x³ y⁷)]
On écrit :
= (7 a⁵ b⁴)/(3 x³ y⁵) × [–(9 x³ y⁷)/(7 a⁵ b⁴)]
Observons que :
– 7, a⁵, b⁴ et x³ s’annulent. – Les constantes donnent : (7/3) × (–9/7) = –9/3 = –3. – Pour y : y⁷/y⁵ = y².
Réponse finale :
–3 y²
────────────────────────────── Exercice 4)
On doit calculer :
(1,2 u⁴ v⁵)/(3,4 w⁵) ÷ [–(0,4 u⁷ v¹²)/(1,7 w¹⁰ z)]
On écrit :
= (1,2 u⁴ v⁵)/(3,4 w⁵) × (1,7 w¹⁰ z)/(–0,4 u⁷ v¹²)
Traitons d’abord les constantes numériques :
• Les constantes sont 1,2, 3,4, 1,7 et –0,4. Partie constante = (1,2/3,4) × (1,7/–0,4).
Pour éviter les décimales, on peut écrire ces nombres sous forme de fractions : 1,2 = 12/10 = 6/5, 3,4 = 34/10 = 17/5, 1,7 = 17/10, 0,4 = 4/10 = 2/5. Dès lors :
1,2/3,4 = (6/5)/(17/5) = 6/17
et 1,7/–0,4 = (17/10)/(–2/5) = (17/10) × (5/–2) = –(17×5)/(10×2) =
–85/20 = –17/4.
Ainsi, la constante globale est :
(6/17) × (–17/4) = –6/4 = –3/2.
Ensuite, simplifions les variables :
– Pour u : u⁴/u⁷ = u^(4–7) = u^(–3) = 1/u³
– Pour v : v⁵/v¹² = v^(5–12) = v^(–7) = 1/v⁷
– Pour w : w¹⁰/w⁵ = w^(10–5) = w⁵
– z apparaît seulement dans le numérateur.
Le résultat s’écrit alors :
= –(3/2) × (w⁵ z)/(u³ v⁷)
Réponse finale :
–(3 w⁵ z)/(2 u³ v⁷)
────────────────────────────── Exercice 5)
On doit calculer :
–(3 a³ b⁵)/(4 x⁷ y⁹) ÷ [–(36 a⁶ b¹⁰)/(0,2 x¹²)]
On écrit :
= [–(3 a³ b⁵)/(4 x⁷ y⁹)] × [0,2 x¹²/(–36 a⁶ b¹⁰)]
Les deux signes négatifs se compensent (– × – = +).
Traitons les constantes :
= (3/4) × (0,2/36)
Sachant que 0,2 = 1/5, on obtient :
(0,2/36) = (1/5)/36 = 1/180.
Ainsi, la constante est :
3/4 × 1/180 = 3/(720) = 1/240.
Maintenant, pour les variables :
– Pour a : a³/a⁶ = a^(3–6) = a^(–3) = 1/a³
– Pour b : b⁵/b¹⁰ = b^(5–10) = b^(–5) = 1/b⁵
– Pour x : x¹²/x⁷ = x^(12–7) = x⁵
– y apparaît seulement dans le dénominateur : y⁹.
Ainsi, le résultat devient :
= (1/240) × (x⁵)/(a³ b⁵ y⁹)
Réponse finale :
x⁵/(240 a³ b⁵ y⁹)
────────────────────────────── Exercice 6)
On doit calculer :
(7 a³ b⁴)/(3 x⁹ y⁵) ÷ [–(49 a⁷ b⁷)/(9 x¹² y⁴)]
On écrit :
= (7 a³ b⁴)/(3 x⁹ y⁵) × (9 x¹² y⁴)/(–49 a⁷ b⁷)
Simplifions les constantes :
Constante = (7 × 9)/(3 × (–49)) = 63/(–147).
On simplifie 63/147 en divisant numérateur et dénominateur par 21 : 63 ÷ 21 = 3 et 147 ÷ 21 = 7.
La constante devient donc –3/7.
Pour les variables :
– Pour a : a³/a⁷ = a^(3–7) = a^(–4) = 1/a⁴
– Pour b : b⁴/b⁷ = b^(4–7) = b^(–3) = 1/b³
– Pour x : x¹²/x⁹ = x^(12–9) = x³
– Pour y : y⁴/y⁵ = y^(4–5) = y^(–1) = 1/y
Ainsi, le résultat s’écrit :
= –(3/7) × (x³)/(a⁴ b³ y)
Réponse finale :
–(3 x³)/(7 a⁴ b³ y)
────────────────────────────── Réponses récapitulatives :
1) (7 x⁸)/(13 a³ b² y³)
2) (7 x³ y⁵ b⁴ c²)/(720 a⁷)
3) –3 y²
4) –(3 w⁵ z)/(2 u³ v⁷)
5) x⁵/(240 a³ b⁵ y⁹)
6) –(3 x³)/(7 a⁴ b³ y)
Chacune de ces étapes vous permet de comprendre comment transformer une division de fractions en une multiplication par l’inverse et simplifier progressivement les coefficients et les puissances des variables.