Simplifiez le rapport \(\dfrac{1}{x} : \dfrac{1}{y}\).
Simplifiez le rapport \(\dfrac{1}{xy} : xy\).
Simplifiez le rapport \(\dfrac{2x}{y} : \dfrac{x}{3}\).
Simplifiez le rapport \(\dfrac{7a^{2}b}{3c^{6}} : \dfrac{21ab^{3}}{c^{3}}\).
Simplifiez le rapport \(\dfrac{-2a^{2}b}{c} : ab^{2}c\).
Simplifiez le rapport \(\dfrac{-3bx^{2}}{5ay^{3}} : \dfrac{-6b^{2}}{a^{3}x}\).
Réponses : 1. y/x
2. 1/(x²y²)
3. 6/y
4. a/(9b²c³)
5. -2a/(b·c²)
6. (a²x³)/(10b y³)
Voici la correction détaillée de chaque partie de l’exercice.
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1. Simplifiez le rapport (1/x) : (1/y)
Rappel : Le rapport a : b se traduit par a ÷ b, c’est-à-dire a multiplié par l’inverse de b.
On a : (1/x) ÷ (1/y) = (1/x) × (y/1).
On multiplie : (1 × y) / (x × 1) = y/x.
Ainsi, le rapport se simplifie en y/x.
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2. Simplifiez le rapport (1/(xy)) : (xy)
On écrit d’abord l’expression en division : (1/(xy)) ÷ (xy).
Cela revient à multiplier par l’inverse du second terme : (1/(xy)) × (1/(xy)).
En multipliant les deux fractions, on obtient : 1/(xy · xy) = 1/(x²y²).
La réponse est donc 1/(x²y²).
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3. Simplifiez le rapport (2x/y) : (x/3)
Transformons le rapport en division : (2x/y) ÷ (x/3) = (2x/y) × (3/x).
Avant de multiplier, on remarque que x apparaît en numérateur et en dénominateur, ce qui permet de les simplifier : (2x × 3) / (y × x) = (6x)/(xy).
En simplifiant x/x (pour x ≠ 0) : 6/y.
La fraction simplifiée est donc 6/y.
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4. Simplifiez le rapport (7a²b/(3c⁶)) : (21ab³/c³)
On écrit le rapport sous forme de division : (7a²b/(3c⁶)) ÷ (21ab³/c³) = (7a²b/(3c⁶)) × (c³/(21ab³)).
Décomposons le calcul en plusieurs étapes :
Coefficients numériques : 7 ÷ 21 = 7/21 = 1/3.
Les variables a : a² ÷ a = a^(2–1) = a.
Les variables b : b ÷ b³ = b^(1–3) = b^(–2), ce qui se met sous la forme 1/b².
Les variables c : c³ ÷ c⁶ = c^(3–6) = c^(–3), c’est-à-dire 1/c³.
Maintenant, tous les facteurs réunis : (1/3) × a × (1/b²) × (1/c³).
Mais il ne faut pas oublier le dénominateur déjà présent 3 dans 3c⁶. En effet, en réunissant le facteur de 3 présent initialement dans le dénominateur avec celui obtenu dans le rapport numérique, on a :
Coefficient : (1/3) ÷ 3 = 1/(3×3) = 1/9.
Donc la forme finale est : a/(9·b²·c³).
La réponse est a/(9b²c³).
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5. Simplifiez le rapport (-2a²b/c) : (ab²c)
Le rapport s’écrit : (-2a²b/c) ÷ (ab²c) = (-2a²b/c) × (1/(ab²c)).
On multiplie les fractions : Numérateur : -2a²b, Dénominateur : c × a b² c = ab²c².
Simplifions étape par étape :
Variables a : a² ÷ a = a^(2–1) = a.
Variables b : b ÷ b² = b^(1–2) = b^(–1) = 1/b.
Variables c : On a c dans le premier dénominateur et c² dans le second, donc on a c² au total au dénominateur.
Coefficient numérique : -2 reste inchangé.
Ainsi, le résultat est : -2a/(b · c²).
La réponse est -2a/(b·c²).
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6. Simplifiez le rapport (-3bx²/(5ay³)) : (-6b²/(a³x))
On écrit la division sous forme de multiplication par l’inverse : (-3bx²/(5ay³)) ÷ (-6b²/(a³x)) = (-3bx²/(5ay³)) × (a³x/(-6b²)).
Observation sur les signes : Le produit d’un nombre négatif par un autre négatif donne un nombre positif. On peut donc simplifier les signes négatifs ensemble.
Nous avons donc : (3bx²/(5ay³)) × (a³x/(6b²)).
Multiplions les numérateurs et les dénominateurs séparément :
Numérateur : 3 × a³ × b × x² × x = 3a³b x³.
Dénominateur : 5 × 6 × a × b² × y³ = 30 a b² y³.
Simplifions maintenant chaque facteur :
Coefficient numérique : 3/30 = 1/10.
Variables a : a³ ÷ a = a².
Variables b : b ÷ b² = 1/b.
Variables x : x² × x = x³.
Les y restent dans le dénominateur sous la forme y³.
Ainsi, le rapport se simplifie en : (a²x³)/(10b y³).
La réponse est (a²x³)/(10b y³).
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Récapitulatif des réponses :
Ces simplifications utilisent les propriétés de la division des fractions et l’annulation des facteurs communs aux numérateurs et dénominateurs.