Calculez \(\frac{185}{222} \cdot \frac{57}{95}\).
Calculez \(\left(\frac{4}{5}\right)^{4} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{3}\).
Calculez \(\frac{16}{12} + \frac{6}{36}\).
Calculez \(\left(\frac{3}{5} - \frac{25}{9}\right)^{0}\).
Calculez \(\frac{-1 + \frac{1}{2}}{0,3 + \frac{1}{10}}\).
Calculez \(\sqrt[3]{-\frac{1}{5}} \cdot \sqrt[3]{-\frac{1}{25}}\).
Nous allons traiter chacune des questions en détaillant chaque étape de la résolution.
────────────────────────────── Question 7) Calculez (185/222) × (57/95)
Écrivons chaque nombre en produit de facteurs premiers pour
repérer les annulations : • 185 = 5 × 37
• 222 = 2 × 3 × 37
• 57 = 3 × 19
• 95 = 5 × 19
La multiplication s’écrit alors : (185/222) × (57/95) = [(5 × 37)/(2 × 3 × 37)] × [(3 × 19)/(5 × 19)]
On remarque que les facteurs 5, 37, 3 et 19 se retrouvent dans le numérateur et le dénominateur. On peut les annuler : • Annulation du 37 : il apparaît en numérateur et en dénominateur. • Annulation du 5 : il apparaît en numérateur et en dénominateur. • Annulation du 3 : idem. • Annulation du 19 : idem.
Il reste alors : (1)/(2) = ½
Donc, le résultat est ½.
────────────────────────────── Question 8) Calculez (4/5)⁴ × (3/4)³
Écrivons chaque expression avec les puissances : (4/5)⁴ = 4⁴/5⁴ et (3/4)³ = 3³/4³
La multiplication donne : (4⁴/5⁴) × (3³/4³) = (4⁴ × 3³) / (5⁴ × 4³)
On simplifie le terme en 4 : 4⁴ / 4³ = 4^(4–3) = 4¹ = 4
La fraction devient : (4 × 3³) / 5⁴. Sachant que 3³ = 27 et 5⁴ = 625, nous avons : (4 × 27) / 625 = 108/625
Le résultat est 108/625.
────────────────────────────── Question 9) Calculez (16/12) + (6/36)
Simplifions chaque fraction : • 16/12 se simplifie en divisant numérateur et dénominateur par 4 : 16 ÷ 4 = 4 et 12 ÷ 4 = 3, donc 16/12 = 4/3. • 6/36 se simplifie en divisant par 6 : 6 ÷ 6 = 1 et 36 ÷ 6 = 6, donc 6/36 = 1/6.
Pour additionner 4/3 et 1/6, trouvons le dénominateur commun. Le plus petit commun multiple de 3 et 6 est 6. Convertissons 4/3 en équivalent avec dénominateur 6 : 4/3 = (4 × 2)/(3 × 2) = 8/6
Additionnons alors : 8/6 + 1/6 = 9/6
Simplifions 9/6 en divisant par 3 : 9 ÷ 3 = 3 et 6 ÷ 3 = 2, donc 9/6 = 3/2.
Le résultat est 3/2.
────────────────────────────── Question 10) Calculez ( (3/5) – (25/9) )⁰
Rappelons que, pour tout nombre non nul élevé à l’exposant 0, le résultat vaut 1. Nous devons vérifier que (3/5) – (25/9) est différent de 0.
Calculons (3/5) – (25/9) en mettant sur un dénominateur commun : Le dénominateur commun de 5 et 9 est 45. 3/5 = (3 × 9)/(5 × 9) = 27/45 et 25/9 = (25 × 5)/(9 × 5) = 125/45. Donc : 27/45 – 125/45 = –98/45, qui est non nul.
Par conséquent, (–98/45)⁰ = 1.
Le résultat est 1.
────────────────────────────── Question 11) Calculez [(-1) + (1/2)] / [0,3 + (1/10)]
Calcul du numérateur : -1 + 1/2 = (-2/2) + (1/2) = -1/2
Calcul du dénominateur : 0,3 peut être écrit en fraction. Sachant que 0,3 = 3/10, nous avons : 3/10 + 1/10 = 4/10. Simplifions 4/10 en divisant par 2 : 4/10 = 2/5.
La fraction devient alors : (-1/2) / (2/5).
Pour diviser une fraction par une autre, multiplions par l’inverse du dénominateur : (-1/2) × (5/2) = -5/4.
Le résultat est -5/4.
────────────────────────────── Question 12) Calculez ∛(-1/5) × ∛(-1/25)
Utilisons la propriété des racines cubiques : ∛(a) × ∛(b) = ∛(a × b).
Calculons le produit à l’intérieur de la racine : (-1/5) × (-1/25) = (1)/(5 × 25) car le produit de deux nombres négatifs est positif. 5 × 25 = 125, donc le produit est 1/125.
Il reste alors à calculer ∛(1/125).
Sachant que 5³ = 125, on obtient : ∛(1/125) = 1/5.
Le résultat est 1/5.
────────────────────────────── Récapitulatif des réponses : 7)
½
8) 108/625
9) 3/2
10) 1
11) -5/4
12) 1/5