Exercice 129
Déterminer, pour chaque expression suivante, les valeurs de \(a\) pour lesquelles le quotient est
nul :
\(\frac{5a}{3}\)
\(-\frac{4a^{2}}{5}\)
\(-\frac{4a^{2}}{5}\)
\(\frac{(2a - 1)\left(\frac{1}{3}a +
2\right)}{(a + 1)^{2}}\)
\(\frac{(a + 3)(a - 2)}{2a +
6}\)
\(\frac{\left(a -
\frac{1}{2}\right)\left(\frac{2}{3} + a\right)}{2a -
1}\)
\(\frac{a(3a - 1)\left(\frac{1}{2}a -
5\right)}{\frac{1}{5}a - 2}\)
Réponse
Les valeurs de \(a\) qui rendent les
quotients nuls sont :
- \(a = 0\)
- \(a = 0\)
- \(a = 0\)
- \(a = \frac{1}{2}\) et \(a = -6\)
- \(a = 2\)
- \(a = -\frac{2}{3}\)
- \(a = 0\) et \(a = \frac{1}{3}\)
Corrigé détaillé
Correction des exercices
Nous allons déterminer pour chaque expression les valeurs de \(a\) qui rendent le quotient nul,
c’est-à-dire que le quotient est égal à zéro. Pour qu’un quotient soit
nul, il faut que le numérateur soit égal à zéro, à condition que le
dénominateur ne soit pas nul.
1) \(\frac{5a}{3}\)
Étapes de résolution :
- Équation du quotient nul : \[
\frac{5a}{3} = 0
\]
- Le quotient est nul si le numérateur est nul :
\[
5a = 0
\]
- Résolution de l’équation : \[
a = 0
\]
Conclusion : La valeur de \(a\) qui rend le quotient nul est \(a = 0\).
2) \(-\frac{4a^{2}}{5}\)
Étapes de résolution :
- Équation du quotient nul : \[
-\frac{4a^{2}}{5} = 0
\]
- Le quotient est nul si le numérateur est nul :
\[
-4a^{2} = 0
\]
- Simplification : \[
a^{2} = 0
\]
- Résolution de l’équation : \[
a = 0
\]
Conclusion : La valeur de \(a\) qui rend le quotient nul est \(a = 0\).
3) \(-\frac{4a^{2}}{5}\)
Cette question est identique à la précédente.
Conclusion : La valeur de \(a\) qui rend le quotient nul est \(a = 0\).
4) \(\frac{(2a - 1)\left(\frac{1}{3}a + 2\right)}{(a +
1)^{2}}\)
Étapes de résolution :
- Équation du quotient nul : \[
\frac{(2a - 1)\left(\frac{1}{3}a + 2\right)}{(a + 1)^{2}} = 0
\]
- Le quotient est nul si le numérateur est nul et le
dénominateur n’est pas nul : \[
(2a - 1)\left(\frac{1}{3}a + 2\right) = 0
\] \[
(a + 1)^{2} \neq 0 \Rightarrow a \neq -1
\]
- Résolution du numérateur égal à zéro : \[
2a - 1 = 0 \quad \text{ou} \quad \frac{1}{3}a + 2 = 0
\]
- Première équation : \[
2a - 1 = 0 \Rightarrow 2a = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{2}
\]
- Deuxième équation : \[
\frac{1}{3}a + 2 = 0 \Rightarrow \frac{1}{3}a = -2 \Rightarrow a = -6
\]
Conclusion : Les valeurs de \(a\) qui rendent le quotient nul sont \(a = \frac{1}{2}\) et \(a = -6\), en respectant \(a \neq -1\).
5) \(\frac{(a + 3)(a
- 2)}{2a + 6}\)
Étapes de résolution :
- Simplification du dénominateur : \[
2a + 6 = 2(a + 3)
\] L’expression devient : \[
\frac{(a + 3)(a - 2)}{2(a + 3)}
\]
- Simplification des facteurs communs : \[
\frac{(a + 3)\cancel{(a + 3)}}{2\cancel{(a + 3)}}} = \frac{a - 2}{2},
\quad \text{avec} \quad a \neq -3
\]
- Équation du quotient nul : \[
\frac{a - 2}{2} = 0
\]
- Résolution de l’équation : \[
a - 2 = 0 \Rightarrow a = 2
\]
Conclusion : La valeur de \(a\) qui rend le quotient nul est \(a = 2\), en respectant \(a \neq -3\).
6) \(\frac{\left(a -
\frac{1}{2}\right)\left(\frac{2}{3} + a\right)}{2a - 1}\)
Étapes de résolution :
- Équation du quotient nul : \[
\frac{\left(a - \frac{1}{2}\right)\left(\frac{2}{3} + a\right)}{2a - 1}
= 0
\]
- Le quotient est nul si le numérateur est nul et le
dénominateur n’est pas nul : \[
\left(a - \frac{1}{2}\right)\left(a + \frac{2}{3}\right) = 0
\] \[
2a - 1 \neq 0 \Rightarrow a \neq \frac{1}{2}
\]
- Résolution du numérateur égal à zéro : \[
a - \frac{1}{2} = 0 \quad \text{ou} \quad a + \frac{2}{3} = 0
\]
- Première équation : \[
a = \frac{1}{2} \quad \text{(mais } a \neq \frac{1}{2} \text{)}
\]
- Deuxième équation : \[
a = -\frac{2}{3}
\]
Conclusion : La valeur de \(a\) qui rend le quotient nul est \(a = -\frac{2}{3}\).
7) \(\frac{a(3a - 1)\left(\frac{1}{2}a -
5\right)}{\frac{1}{5}a - 2}\)
Étapes de résolution :
- Simplification du dénominateur : \[
\frac{1}{5}a - 2 = \frac{a - 10}{5}
\] L’expression devient : \[
\frac{a(3a - 1)\left(\frac{1}{2}a - 5\right)}{\frac{a - 10}{5}} =
\frac{5a(3a - 1)\left(\frac{1}{2}a - 5\right)}{a - 10}
\]
- Équation du quotient nul : \[
\frac{5a(3a - 1)\left(\frac{1}{2}a - 5\right)}{a - 10} = 0
\]
- Le quotient est nul si le numérateur est nul et le
dénominateur n’est pas nul : \[
5a(3a - 1)\left(\frac{1}{2}a - 5\right) = 0
\] \[
a - 10 \neq 0 \Rightarrow a \neq 10
\]
- Résolution du numérateur égal à zéro : \[
5a = 0 \quad \text{ou} \quad 3a - 1 = 0 \quad \text{ou} \quad
\frac{1}{2}a - 5 = 0
\]
- Première équation : \[
5a = 0 \Rightarrow a = 0
\]
- Deuxième équation : \[
3a - 1 = 0 \Rightarrow 3a = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{3}
\]
- Troisième équation : \[
\frac{1}{2}a - 5 = 0 \Rightarrow \frac{1}{2}a = 5 \Rightarrow a = 10
\] Mais \(a \neq 10\), donc
cette solution est exclue.
Conclusion : Les valeurs de \(a\) qui rendent le quotient nul sont \(a = 0\) et \(a =
\frac{1}{3}\).