Exercice 127

Trouvez dix nombres non rationnels.

Réponse

Résumé des Dix Nombres Irrationnels :

1. √2
   
2. √3
   
3. √5
   
4. π
   
5. e
   
6. √7
   
7. π + 1
   
8. √10
   
9. ln 2
   
10. √11

Ces nombres ne peuvent pas être exprimés sous forme de fractions et possèdent des décimales infinies non répétitives.

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice : Trouvez dix nombres non rationnels

Pour trouver dix nombres non rationnels (également appelés nombres irrationnels), il est essentiel de comprendre ce que sont les nombres rationnels et irrationnels.

1. Comprendre les Nombres Rationnels et Irrationnels

Nombres Rationnels

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction où le numérateur et le dénominateur sont des entiers, et le dénominateur est différent de zéro. Par exemple : \[ \frac{1}{2}, \quad -3, \quad \frac{7}{4}, \quad 0 \]

Nombres Irrationnels

Un nombre irrationnel ne peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction avec des entiers. Sa représentation décimale est non périodique et non terminante. Autrement dit, les chiffres après la virgule continuent sans suivre un schéma répétitif.

2. Caractéristiques des Nombres Irrationnels

• Décimales infinies et non répétitives : Contrairement aux nombres rationnels, les nombres irrationnels ont une expansion décimale infinie sans répétition.
• Exemples célèbres :
  • \(\sqrt{2}\) : La racine carrée de 2.
  • \(\pi\) : Le rapport de la circonférence d’un cercle à son diamètre.

3. Méthodes pour Identifier des Nombres Irrationnels

a. Racines Non Carrées Parfaites

Les racines carrées de nombres qui ne sont pas des carrés parfaits sont généralement irrationnelles. Par exemple : \[ \sqrt{3}, \quad \sqrt{5}, \quad \sqrt{7} \]

b. Constantes Mathématiques Connues

Certaines constantes mathématiques sont irrationnelles : \[ \pi, \quad e \quad (\text{la base des logarithmes naturels}) \]

c. Combinaisons de Nombres Irrationnels et Rationnels

Parfois, en ajoutant ou multipliant un nombre rationnel par un irrationnel, on obtient un nombre irrationnel. Cependant, ce n’est pas toujours le cas, donc cette méthode doit être utilisée avec prudence.

4. Dénombrement de Dix Nombres Irrationnels

Voici une liste de dix nombres irrationnels, accompagnée d’une brève explication pour chacun :

1. \(\sqrt{2}\) \[ \sqrt{2} \approx 1,4142135 \ldots \] Premier nombre irrationnel démontré par l’ancienne Grèce.

2. \(\sqrt{3}\) \[ \sqrt{3} \approx 1,7320508 \ldots \] Utilisé en trigonométrie et en géométrie.

3. \(\sqrt{5}\) \[ \sqrt{5} \approx 2,2360679 \ldots \] Apparaît dans la formule du nombre d’or.

4. \(\pi\) \[ \pi \approx 3,1415926 \ldots \] Rapport de la circonférence d’un cercle à son diamètre.

5. \(e\) \[ e \approx 2,7182818 \ldots \] Base des logarithmes naturels, essentielle en calcul.

6. \(\sqrt{7}\) \[ \sqrt{7} \approx 2,6457513 \ldots \] Autre racine carrée non parfaite.

7. \(\pi + 1\) \[ \pi + 1 \approx 4,1415926 \ldots \] La somme d’un nombre irrationnel et d’un entier reste irrationnelle.

8. \(\sqrt{10}\) \[ \sqrt{10} \approx 3,1622776 \ldots \] Utilisé dans divers calculs géométriques.

9. \(\ln{2}\) \[ \ln{2} \approx 0,6931471 \ldots \] Logarithme naturel de 2.

10. \(\sqrt{11}\) \[ \sqrt{11} \approx 3,3166248 \ldots \] Encore une racine carrée non parfaite.

5. Vérification d’Un Nombre Irrationnel

Prenons par exemple \(\sqrt{2}\) :

• Supposons que \(\sqrt{2}\) est rationnel, donc il peut s’écrire sous la forme \(\frac{a}{b}\), où \(a\) et \(b\) sont des entiers sans facteurs communs.
• En élevant les deux côtés au carré : \[ 2 = \frac{a^2}{b^2} \quad \Rightarrow \quad a^2 = 2b^2 \]
• Cela implique que \(a^2\) est pair, donc \(a\) est pair. On peut écrire \(a = 2k\).
• Substituant dans l’équation : \[ (2k)^2 = 2b^2 \quad \Rightarrow \quad 4k^2 = 2b^2 \quad \Rightarrow \quad 2k^2 = b^2 \]
• Ainsi, \(b^2\) est également pair, donc \(b\) est pair.
• Mais cela contredit notre hypothèse initiale que \(a\) et \(b\) n’ont pas de facteurs communs.
• Donc, \(\sqrt{2}\) est irrationnel.

6. Conclusion

En comprenant la différence entre les nombres rationnels et irrationnels, et en connaissant quelques exemples clés, il devient plus facile de trouver et de reconnaître des nombres irrationnels. La liste présentée ci-dessus fournit dix exemples clairs de tels nombres.

Résumé des Dix Nombres Irrationnels Trouvés

1. \(\sqrt{2}\)
2. \(\sqrt{3}\)
3. \(\sqrt{5}\)
4. \(\pi\)
5. \(e\)
6. \(\sqrt{7}\)
7. \(\pi + 1\)
8. \(\sqrt{10}\)
9. \(\ln{2}\)
10. \(\sqrt{11}\)

Ces nombres illustrent bien la variété des nombres irrationnels présents en mathématiques.

Remarque

Il est important de noter que certains outils mathématiques avancés permettent de prouver l’irrationalité de certains nombres, mais pour le niveau collège, il est suffisant de connaître ces exemples classiques et de comprendre leurs propriétés de base.

Fin de la Correction