Le dénominateur d’une fraction dépasse de 4 son numérateur. Si on ajoute 3 au numérateur et au dénominateur, on obtient une fraction égale à \(\frac{2}{3}\). Quelle est la fraction dont on est parti?
La fraction initiale est 5/9.
Soit x le numérateur de la fraction, alors le dénominateur s’écrit x + 4 (puisqu’il dépasse le numérateur de 4). La fraction de départ est ainsi x/(x + 4).
Lorsque l’on ajoute 3 au numérateur et au dénominateur, la nouvelle fraction devient (x + 3)/(x + 7). On nous indique que cette fraction est égale à 2/3. On peut donc écrire l’équation suivante :
(x + 3)/(x + 7) = 2/3
Pour résoudre cette équation, on procède par élimination des dénominateurs par multiplication croisée :
3(x + 3) = 2(x + 7)
Développons chaque côté :
3x + 9 = 2x + 14
Pour isoler x, soustrayons 2x des deux côtés :
3x - 2x + 9 = 14
x + 9 = 14
Puis, soustrayons 9 des deux côtés pour obtenir x :
x = 14 - 9
x = 5
Nous avons trouvé que le numérateur de la fraction de départ est 5. Pour trouver le dénominateur, rappelons qu’il est égal à x + 4 :
Dénominateur = 5 + 4 = 9
Ainsi, la fraction de départ est 5/9.
Vérification rapide : En ajoutant 3 au numérateur et au dénominateur,
nous obtenons (5 + 3)/(9 + 3) = 8/12. Simplifions 8/12 en divisant le
numérateur et le dénominateur par 4 : 8 ÷ 4 = 2
12 ÷ 4 = 3
Ce qui donne 2/3 comme souhaité.
La fraction initiale est donc 5/9.