Effectuez les opérations suivantes et simplifiez les expressions si nécessaire :
Exercice 1 : \[ -\frac{x - y}{x + y} \]
Exercice 2 : \[ 2a - b \]
Exercice 3 : \[ 0 \]
Exercice 4 : \[ \frac{(x + 2)^{2}}{x^{2} - x + 6} \]
Exercice 5 : \[ \frac{b(b + 1)}{(a - b)^{2}} \]
Exercice 6 : \[ x - 1 \]
Simplifiez l’expression suivante : \[ \frac{y}{x+y} - \frac{x}{x+y} \]
Solution :
Les deux fractions ont le même dénominateur \(x + y\). Lorsque les dénominateurs sont identiques, on peut soustraire directement les numérateurs.
\[ \frac{y}{x+y} - \frac{x}{x+y} = \frac{y - x}{x + y} \]
On peut également réécrire le numérateur en factorisant un signe négatif :
\[ \frac{y - x}{x + y} = \frac{-(x - y)}{x + y} = -\frac{x - y}{x + y} \]
Ainsi, l’expression simplifiée est :
\[ -\frac{x - y}{x + y} \]
Simplifiez l’expression suivante : \[ \frac{2b^{2} + 3a^{2}}{2a + b} + \frac{a^{2} - 3b^{2}}{b + 2a} \]
Solution :
Observons que les dénominateurs sont identiques car \(b + 2a = 2a + b\). Ainsi, on peut additionner les numérateurs directement.
\[ \frac{2b^{2} + 3a^{2}}{2a + b} + \frac{a^{2} - 3b^{2}}{2a + b} = \frac{(2b^{2} + 3a^{2}) + (a^{2} - 3b^{2})}{2a + b} \]
Simplifions le numérateur :
\[ 2b^{2} + 3a^{2} + a^{2} - 3b^{2} = (3a^{2} + a^{2}) + (2b^{2} - 3b^{2}) = 4a^{2} - b^{2} \]
L’expression devient :
\[ \frac{4a^{2} - b^{2}}{2a + b} \]
Factorisons le numérateur en utilisant la différence de deux carrés :
\[ 4a^{2} - b^{2} = (2a)^2 - b^2 = (2a - b)(2a + b) \]
Ainsi, l’expression se simplifie à :
\[ \frac{(2a - b)(2a + b)}{2a + b} = 2a - b \]
Simplifiez l’expression suivante : \[ \frac{4x - y}{2x - y} - \frac{2y - 5x}{y - 2x} - \frac{y - x}{2x - y} \]
Solution :
Tout d’abord, remarquons que \(y - 2x = -(2x - y)\). Nous allons réécrire chaque fraction en termes de \(2x - y\) pour avoir un dénominateur commun.
\[ \frac{4x - y}{2x - y} - \frac{2y - 5x}{y - 2x} - \frac{y - x}{2x - y} = \frac{4x - y}{2x - y} - \frac{2y - 5x}{- (2x - y)} - \frac{y - x}{2x - y} \]
Simplifions les signes :
\[ \frac{4x - y}{2x - y} + \frac{2y - 5x}{2x - y} - \frac{y - x}{2x - y} \]
Maintenant, les dénominateurs sont identiques, on peut additionner les numérateurs :
\[ \frac{(4x - y) + (2y - 5x) + (-y + x)}{2x - y} \]
Simplifions le numérateur :
\[ 4x - y + 2y - 5x - y + x = (4x - 5x + x) + (-y + 2y - y) = 0x + 0y = 0 \]
Ainsi, l’expression simplifiée est :
\[ 0 \]
Simplifiez l’expression suivante : \[ \frac{x^{2} + 4x}{x^{2} - x + 6} - \frac{4}{x - x^{2} - 6} \]
Solution :
Tout d’abord, réorganisons le deuxième dénominateur :
\[ x - x^{2} - 6 = -x^{2} + x - 6 = -(x^{2} - x + 6) \]
Ainsi, l’expression devient :
\[ \frac{x^{2} + 4x}{x^{2} - x + 6} - \frac{4}{-(x^{2} - x + 6)} = \frac{x^{2} + 4x}{x^{2} - x + 6} + \frac{4}{x^{2} - x + 6} \]
Les dénominateurs sont identiques, on peut additionner les numérateurs :
\[ \frac{(x^{2} + 4x) + 4}{x^{2} - x + 6} = \frac{x^{2} + 4x + 4}{x^{2} - x + 6} \]
Le numérateur peut être factorisé :
\[ x^{2} + 4x + 4 = (x + 2)^{2} \]
Donc, l’expression simplifiée est :
\[ \frac{(x + 2)^{2}}{x^{2} - x + 6} \]
Simplifiez l’expression suivante : \[ \frac{b + b^{2}}{(a - b)^{2}} \]
Solution :
Factorisons le numérateur :
\[ b + b^{2} = b(1 + b) = b(b + 1) \]
Ainsi, l’expression devient :
\[ \frac{b(b + 1)}{(a - b)^{2}} \]
Il n’y a pas de termes communs supplémentaires à simplifier entre le numérateur et le dénominateur. Donc, l’expression simplifiée est :
\[ \frac{b(b + 1)}{(a - b)^{2}} \]
Simplifiez l’expression suivante : \[ \frac{2x - 1}{x + 5} - \frac{x - x^{2}}{5 + x} - \frac{3x - 4}{-x - 5} \]
Solution :
Observons que \(5 + x = x + 5\) et \(-x -5 = -(x +5)\). Réécrivons l’expression :
\[ \frac{2x - 1}{x + 5} - \frac{x - x^{2}}{x + 5} - \frac{3x - 4}{- (x +5)} = \frac{2x - 1}{x + 5} - \frac{x - x^{2}}{x + 5} + \frac{3x - 4}{x +5} \]
Maintenant, les dénominateurs sont identiques, on peut additionner les numérateurs :
\[ \frac{(2x - 1) - (x - x^{2}) + (3x - 4)}{x +5} \]
Simplifions le numérateur :
\[ 2x -1 -x + x^{2} +3x -4 = x^{2} + (2x -x +3x) + (-1 -4) = x^{2} +4x -5 \]
Ainsi, l’expression simplifiée est :
\[ \frac{x^{2} +4x -5}{x +5} \]
On peut éventuellement factoriser le numérateur si possible :
\[ x^{2} +4x -5 = (x +5)(x -1) \]
Donc :
\[ \frac{(x +5)(x -1)}{x +5} = x -1 \quad \text{(pour } x \neq -5\text{)} \]
Ainsi, l’expression simplifiée est :
\[ x -1 \]