Exercice 123

  1. Simplifiez l’expression suivante : \[ \frac{2x^{3} - 8xy^{2}}{5x} \cdot \frac{10x}{3x^{3} - 6x^{2}y} \]

  2. Simplifiez l’expression suivante : \[ \frac{x^{2}y^{2} - 25}{16a^{3} - a} \cdot \frac{4a^{2} + a}{xy + 5} \]

  3. Simplifiez l’expression suivante : \[ \frac{2x^{2} + 4x + 2}{x^{2} - x - 2} \cdot \frac{x^{3} - 2x^{2}}{x^{3} - x} \]

  4. Simplifiez l’expression suivante : \[ \frac{2x^{2} - 2x - 4}{3x - 3} \cdot \frac{2x - 4}{x^{2} - 4x + 4} \]

  5. Simplifiez l’expression suivante : \[ \frac{25x^{3} - xy^{2}}{5x^{2}} \cdot \frac{xy - y}{5x - y} \cdot \frac{10x}{x^{2}y^{2} - y^{2}} \]

  6. Simplifiez l’expression suivante : \[ \frac{5b^{3} - 10b^{2} - 15b}{25ab^{2}} \cdot \frac{ab - 3a}{b^{2} - 6b + 9} \]

Réponse

Voici le résumé final :

  1. 4(x + 2y)/(3x)
  2. (xy – 5)/(4a – 1)
  3. 2x/(x – 1)
  4. 4(x + 1)/(3(x – 1))
  5. 2(5x + y)/(y(x + 1))
  6. (b + 1)/(5b)

Corrigé détaillé

Voici ci-après une correction détaillée pour chacune des expressions proposées.

────────────────────────────── Exercice 1

Nous devons simplifier :   (2x³ – 8xy²)/(5x) × (10x)/(3x³ – 6x²y).

  1. Factoriser les expressions.  a) Au numérateur du premier facteur :   2x³ – 8xy² = 2x(x² – 4y²).   On reconnaît une différence de carrés : x² – 4y² = (x – 2y)(x + 2y).   Donc  2x³ – 8xy² = 2x (x – 2y)(x + 2y).

 b) Au dénominateur du deuxième facteur :   3x³ – 6x²y = 3x²(x – 2y).

 c) Le premier dénominateur est déjà 5x et le second numérateur est 10x.

  1. Réécrire l’expression avec les factorizations :   = [2x (x – 2y)(x + 2y)]/(5x) × [10x]/[3x² (x – 2y)].

  2. Annuler les facteurs communs.  a) Dans le premier facteur, le x présent au numérateur et au dénominateur s’annule.  b) Le facteur (x – 2y) apparaît dans le numérateur du premier facteur et dans celui du deuxième dénominateur, donc il se simplifie.  c) On remarque aussi que l’on peut simplifier les autres constantes :   Les constantes donnent (2 × 10 = 20) au numérateur et 5 × 3 = 15 au dénominateur, ce qui permet de réduire par 5 (20/15 = 4/3).  d) Un x supplémentaire dans le numérateur du deuxième facteur se simplifie avec l’un des x du dénominateur 3x².

  3. Après ces simplifications, on obtient :   = (20 (x + 2y))/(15x) = (4(x + 2y))/(3x).

La forme simplifiée est donc : 4(x + 2y)/(3x).

────────────────────────────── Exercice 2

Simplifier l’expression :   (x²y² – 25)/(16a³ – a) × (4a² + a)/(xy + 5).

  1. Factoriser chaque polynôme :  a) Numérateur 1 : x²y² – 25 peut être écrit comme une différence de carrés :   x²y² – 25 = (xy)² – 5² = (xy – 5)(xy + 5).

 b) Dénominateur 1 : 16a³ – a.   On factorise a en commun : = a(16a² – 1).   Ici, 16a² – 1 est aussi une différence de carrés puisqu’il s’écrit (4a)² – 1² :   16a² – 1 = (4a – 1)(4a + 1).   Donc 16a³ – a = a (4a – 1)(4a + 1).

 c) Numérateur 2 : 4a² + a = a(4a + 1).  d) Dénominateur 2 : xy + 5 reste tel quel.

  1. Réécrire l’expression :   = [(xy – 5)(xy + 5)]/[a(4a – 1)(4a + 1)] × [a(4a + 1)]/(xy + 5).

  2. Simplifier en annulant les facteurs communs :  a) (xy + 5) se simplifie.  b) a se simplifie.  c) (4a + 1) se simplifie.

  3. Il reste :   = (xy – 5)/(4a – 1).

La forme simplifiée est donc : (xy – 5)/(4a – 1).

────────────────────────────── Exercice 3

Simplifier l’expression :   (2x² + 4x + 2)/(x² – x – 2) × (x³ – 2x²)/(x³ – x).

  1. Factorisons chaque polynôme :  a) Pour le premier numérateur :   2x² + 4x + 2 = 2(x² + 2x + 1) = 2(x + 1)².  b) Pour le premier dénominateur :   x² – x – 2 se factorise en (x + 1)(x – 2) (puisque (1)(–2) = –2 et 1 + (–2) = –1).

 Ainsi, le premier facteur devient :   [2(x + 1)²]/[(x + 1)(x – 2)] = 2(x + 1)/(x – 2).

 c) Pour le second numérateur :   x³ – 2x² = x²(x – 2).  d) Pour le second dénominateur :   x³ – x = x(x² – 1) et x² – 1 = (x – 1)(x + 1).   Ainsi, x³ – x = x(x – 1)(x + 1).

 Le second facteur devient :   [x²(x – 2)]/[x(x – 1)(x + 1)] = [x(x – 2)]/[(x – 1)(x + 1)].

  1. Multiplier les deux fractions :   = [2(x + 1)/(x – 2)] × [x(x – 2)/((x – 1)(x + 1))].

  2. Simplifier :  a) Le facteur (x – 2) se simplifie.  b) Le facteur (x + 1) se simplifie.

 Il reste :   = 2x/(x – 1).

La forme simplifiée est donc : 2x/(x – 1).

────────────────────────────── Exercice 4

Simplifier l’expression :   (2x² – 2x – 4)/(3x – 3) × (2x – 4)/(x² – 4x + 4).

  1. Factorisation :  a) Premier numérateur : 2x² – 2x – 4 = 2(x² – x – 2).   Le trinôme x² – x – 2 se factorise en (x – 2)(x + 1). Ainsi,   2x² – 2x – 4 = 2(x – 2)(x + 1).

 b) Premier dénominateur : 3x – 3 = 3(x – 1).

 c) Second numérateur : 2x – 4 = 2(x – 2).

 d) Second dénominateur : x² – 4x + 4 = (x – 2)².

  1. Réécriture de l’expression :   = [2(x – 2)(x + 1)]/[3(x – 1)] × [2(x – 2)]/[(x – 2)²].

  2. Simplification :  a) Dans le second produit, (x – 2)² au dénominateur annule le produit de (x – 2) × (x – 2) présent au numérateur.  b) On procède alors aux simplifications :   Multiplication des numérateurs : 2 × 2 = 4, et il reste (x + 1) ainsi qu’un facteur (x – 2) qui a été annulé.   Le dénominateur est 3(x – 1).

 Ainsi, après annulation complète des (x – 2), on obtient :   = 4(x + 1)/(3(x – 1)).

La forme simplifiée est donc : 4(x + 1)/(3(x – 1)).

────────────────────────────── Exercice 5

Simplifier l’expression :   (25x³ – xy²)/(5x²) × (xy – y)/(5x – y) × (10x)/(x²y² – y²).

  1. Factoriser chaque terme :  a) Dans le premier numérateur :   25x³ – xy² = x(25x² – y²).   On remarque que 25x² – y² est une différence de carrés :   25x² – y² = (5x – y)(5x + y).   Donc, 25x³ – xy² = x(5x – y)(5x + y).   Le premier facteur devient alors :   [x(5x – y)(5x + y)]/(5x²) = (5x – y)(5x + y)/(5x) après avoir annulé x.

 b) Dans le second facteur :   xy – y = y(x – 1).   Le dénominateur est 5x – y.

 c) Dans le troisième facteur :   x²y² – y² = y²(x² – 1) = y²(x – 1)(x + 1), car x² – 1 est une différence de carrés.   Ainsi le troisième facteur s’écrit :   10x/[y²(x – 1)(x + 1)].

  1. Réécrire l’expression complète :   = { (5x – y)(5x + y)/(5x) } × { y(x – 1)/(5x – y) } × { 10x/[y² (x – 1)(x + 1)] }.

  2. Simplifier en annulant les facteurs communs :  a) Le facteur (5x – y) apparaît au numérateur du premier facteur et au dénominateur du second.  b) Le facteur (x – 1) se trouve au numérateur du second et au dénominateur du troisième.  c) Dans le produit, le x présent au numérateur du premier ou troisième se simplifie avec celui du dénominateur.  d) On rassemble les constantes :   Les constantes : (10 × 1)/(5) = 2, après simplification.

 Rassemblons étape par étape :   Après annulation de (5x – y) et de (x – 1), l’expression devient :   = (5x + y)/(5x) × y × 10x/[y² (x + 1)].   On peut écrire cela comme :   = (5x + y) × (10x y) / [5x · y² (x + 1)].

 Annulons x (x dans numérateur et dénominateur) et simplifions y :   x s’annule, et y annule une fois dans y², laissant y dans le dénominateur.   De plus, 10/5 = 2.

 On obtient alors :   = 2(5x + y)/[y(x + 1)].

La forme simplifiée est donc : 2(5x + y)/(y(x + 1)).

────────────────────────────── Exercice 6

Simplifier l’expression :   (5b³ – 10b² – 15b)/(25ab²) × (ab – 3a)/(b² – 6b + 9).

  1. Démarrons par factoriser chaque terme.  a) Pour le premier numérateur :   5b³ – 10b² – 15b = 5b(b² – 2b – 3).   Le trinôme b² – 2b – 3 se factorise en (b – 3)(b + 1) (puisque (–3) × 1 = –3 et –3 + 1 = –2).   Donc, 5b³ – 10b² – 15b = 5b (b – 3)(b + 1).

 b) Le premier dénominateur est 25ab².

 c) Pour le second numérateur :   ab – 3a = a(b – 3).

 d) Pour le second dénominateur :   b² – 6b + 9 = (b – 3)² (puisque c’est le carré de b – 3).

  1. Réécrire chaque fraction après factorizations :  a) Premier facteur :   [5b (b – 3)(b + 1)]/(25ab²) = (b – 3)(b + 1)/(5ab) (car 5/25 = 1/5 et en annulant un b).

 b) Second facteur :   [a(b – 3)]/[(b – 3)²] = a/(b – 3).

  1. Multiplier les deux fractions :   = [(b – 3)(b + 1)/(5ab)] × [a/(b – 3)].   On annule le facteur (b – 3).

  2. Il reste alors :   = (b + 1)/(5b).

La forme simplifiée est donc : (b + 1)/(5b).

────────────────────────────── Conclusion

Les expressions simplifiées finales sont :

  1. 4(x + 2y)/(3x)
  2. (xy – 5)/(4a – 1)
  3. 2x/(x – 1)
  4. 4(x + 1)/(3(x – 1))
  5. 2(5x + y)/(y(x + 1))
  6. (b + 1)/(5b)

Chaque étape repose sur des factorisations judicieuses et l’annulation soigneuse des facteurs communs dans les numérateurs et dénominateurs.

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