Question : Complétez les équations suivantes :
\(\frac{4}{9} \cdot \frac{\square}{9} = \frac{36}{\square}\)
\(\frac{2}{5} \cdot \frac{8}{\square} = \frac{16}{25}\)
\(\square \cdot \frac{7}{14} = \frac{7}{28}\)
\(\frac{\square}{3} \cdot \frac{9}{6} = \frac{54}{\square}\)
Résumé des réponses :
\[ \frac{4}{9} \cdot \frac{\square}{9} = \frac{36}{\square} \]
Étape 1 : Comprendre l’équation
Nous devons trouver la valeur de la case (\(\square\)) qui rend l’équation vraie.
Étape 2 : Simplifier l’équation
Simplifions l’équation donnée :
\[ \frac{4}{9} \cdot \frac{\square}{9} = \frac{36}{\square} \]
Multipliions les fractions de gauche :
\[ \frac{4 \times \square}{9 \times 9} = \frac{36}{\square} \]
Ce qui donne :
\[ \frac{4\square}{81} = \frac{36}{\square} \]
Étape 3 : Éliminer les fractions
Pour faciliter la résolution, multiplions les deux côtés de l’équation par \(81 \times \square\) pour éliminer les dénominateurs :
\[ 81 \times \square \times \frac{4\square}{81} = 81 \times \square \times \frac{36}{\square} \]
Simplifions :
\[ 4\square^2 = 81 \times 36 \]
Calculons \(81 \times 36\) :
\[ 81 \times 36 = 2916 \]
Donc :
\[ 4\square^2 = 2916 \]
Étape 4 : Isoler \(\square^2\)
Divisons les deux côtés par 4 :
\[ \square^2 = \frac{2916}{4} = 729 \]
Étape 5 : Trouver \(\square\)
Prenons la racine carrée des deux côtés :
\[ \square = \sqrt{729} = 27 \]
Réponse : \(\square = 27\)
\[ \frac{2}{5} \cdot \frac{8}{\square} = \frac{16}{25} \]
Étape 1 : Comprendre l’équation
Nous devons déterminer la valeur de \(\square\) qui satisfait l’équation.
Étape 2 : Simplifier l’équation
Multipliions les fractions de gauche :
\[ \frac{2 \times 8}{5 \times \square} = \frac{16}{25} \]
Ce qui donne :
\[ \frac{16}{5\square} = \frac{16}{25} \]
Étape 3 : Établir une proportion
Puisque les numérateurs sont égaux, les dénominateurs doivent être égaux pour que les fractions soient égales :
\[ 5\square = 25 \]
Étape 4 : Résoudre pour \(\square\)
Divisons les deux côtés par 5 :
\[ \square = \frac{25}{5} = 5 \]
Réponse : \(\square = 5\)
\[ \square \cdot \frac{7}{14} = \frac{7}{28} \]
Étape 1 : Simplifier les fractions
Simplifions \(\frac{7}{14}\) et \(\frac{7}{28}\):
\[ \frac{7}{14} = \frac{1}{2} \quad \text{et} \quad \frac{7}{28} = \frac{1}{4} \]
L’équation devient :
\[ \square \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \]
Étape 2 : Isoler \(\square\)
Pour trouver \(\square\), multiplions les deux côtés par 2 :
\[ \square = \frac{1}{4} \times 2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]
Réponse : \(\square = \frac{1}{2}\)
\[ \frac{\square}{3} \cdot \frac{9}{6} = \frac{54}{\square} \]
Étape 1 : Simplifier les fractions
Simplifions \(\frac{9}{6}\) :
\[ \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \]
L’équation devient :
\[ \frac{\square}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{54}{\square} \]
Étape 2 : Multiplier les fractions de gauche
\[ \frac{\square \times 3}{3 \times 2} = \frac{54}{\square} \]
Simplifions :
\[ \frac{\square}{2} = \frac{54}{\square} \]
Étape 3 : Établir une proportion
Multiplions les deux côtés par \(2 \times \square\) pour éliminer les dénominateurs :
\[ \square \times \square = 2 \times 54 \]
Ce qui donne :
\[ \square^2 = 108 \]
Étape 4 : Trouver \(\square\)
Prenons la racine carrée des deux côtés :
\[ \square = \sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} = 6\sqrt{3} \]
Cependant, comme \(\square\) apparaît au dénominateur, nous cherchons une valeur rationnelle. Revenons à l’étape précédente pour vérifier.
Revoir l’équation simplifiée :
\[ \frac{\square}{2} = \frac{54}{\square} \]
Multipliant les deux côtés par \(\square\) :
\[ \frac{\square^2}{2} = 54 \]
Multipliant par 2 :
\[ \square^2 = 108 \]
Ainsi, \(\square = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}\).
Réponse : \(\square = 6\sqrt{3}\)
Remarque : Si une réponse rationnelle est attendue, il se peut qu’il y ait une erreur dans l’énoncé de la question. Veuillez vérifier les valeurs données.