Exercice 121

Simplifiez les expressions suivantes :

1. \(\frac{x}{5} + \frac{x}{6}\)
   
2. \(\frac{2x}{3} + x\)
   
3. \(\frac{7x}{4} - x\)
   
4. \(\frac{x}{4} + \frac{x}{3} - \frac{x}{12}\)
   
5. \(\frac{5x}{2} - \frac{7x}{4} - \frac{4x}{3}\)
   
6. \(\frac{2x}{3} - \left(\frac{3x}{2} + \frac{x}{9}\right)\)

Réponse

Pour simplifier les expressions fractionnaires, on détermine un dénominateur commun, réécrit chaque fraction en conséquence, puis effectue les opérations d’addition ou de soustraction pour obtenir la forme simplifiée finale.

Corrigé détaillé

Correction des exercices de simplification

1) Simplifier \(\displaystyle \frac{x}{5} + \frac{x}{6}\)

Pour additionner ces deux fractions, il faut un dénominateur commun.

1. Trouver le dénominateur commun :
   • Les dénominateurs sont 5 et 6.
   • Le plus petit commun multiple de 5 et 6 est 30.
2. Réécrire chaque fraction avec le dénominateur commun :
   • \(\displaystyle \frac{x}{5} = \frac{6x}{30}\) (multiplié numérateur et dénominateur par 6)
   • \(\displaystyle \frac{x}{6} = \frac{5x}{30}\) (multiplié numérateur et dénominateur par 5)
3. Additionner les fractions :
   • \(\displaystyle \frac{6x}{30} + \frac{5x}{30} = \frac{11x}{30}\)

Réponse simplifiée : \(\displaystyle \frac{11x}{30}\)

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2) Simplifier \(\displaystyle \frac{2x}{3} + x\)

Pour additionner \(\displaystyle \frac{2x}{3}\) et \(x\), il faut exprimer \(x\) avec le même dénominateur.

1. Réécrire \(x\) avec le dénominateur 3 :
   • \(x = \frac{3x}{3}\)
2. Additionner les fractions :
   • \(\displaystyle \frac{2x}{3} + \frac{3x}{3} = \frac{5x}{3}\)

Réponse simplifiée : \(\displaystyle \frac{5x}{3}\)

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3) Simplifier \(\displaystyle \frac{7x}{4} - x\)

Pour soustraire \(x\) de \(\displaystyle \frac{7x}{4}\), exprimez \(x\) avec le même dénominateur.

1. Réécrire \(x\) avec le dénominateur 4 :
   • \(x = \frac{4x}{4}\)
2. Soustraire les fractions :
   • \(\displaystyle \frac{7x}{4} - \frac{4x}{4} = \frac{3x}{4}\)

Réponse simplifiée : \(\displaystyle \frac{3x}{4}\)

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4) Simplifier \(\displaystyle \frac{x}{4} + \frac{x}{3} - \frac{x}{12}\)

Pour additionner et soustraire ces fractions, trouvons un dénominateur commun.

1. Trouver le dénominateur commun :
   • Les dénominateurs sont 4, 3 et 12.
   • Le plus petit commun multiple est 12.
2. Réécrire chaque fraction avec le dénominateur 12 :
   • \(\displaystyle \frac{x}{4} = \frac{3x}{12}\)
   • \(\displaystyle \frac{x}{3} = \frac{4x}{12}\)
   • \(\displaystyle \frac{x}{12}\) reste inchangé.
3. Effectuer les opérations :
   • \(\displaystyle \frac{3x}{12} + \frac{4x}{12} - \frac{x}{12} = \frac{6x}{12}\)
4. Simplifier la fraction :
   • \(\displaystyle \frac{6x}{12} = \frac{x}{2}\)

Réponse simplifiée : \(\displaystyle \frac{x}{2}\)

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5) Simplifier \(\displaystyle \frac{5x}{2} - \frac{7x}{4} - \frac{4x}{3}\)

Pour effectuer cette opération, trouvons un dénominateur commun aux trois termes.

1. Trouver le dénominateur commun :
   • Les dénominateurs sont 2, 4 et 3.
   • Le plus petit commun multiple est 12.
2. Réécrire chaque fraction avec le dénominateur 12 :
   • \(\displaystyle \frac{5x}{2} = \frac{30x}{12}\) (multiplié par 6)
   • \(\displaystyle \frac{7x}{4} = \frac{21x}{12}\) (multiplié par 3)
   • \(\displaystyle \frac{4x}{3} = \frac{16x}{12}\) (multiplié par 4)
3. Effectuer les opérations :
   • \(\displaystyle \frac{30x}{12} - \frac{21x}{12} - \frac{16x}{12} = \frac{(30x - 21x - 16x)}{12} = \frac{-7x}{12}\)

Réponse simplifiée : \(-\displaystyle \frac{7x}{12}\)

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6) Simplifier \(\displaystyle \frac{2x}{3} - \left( \frac{3x}{2} + \frac{x}{9} \right)\)

Pour simplifier cette expression, effectuons les opérations dans les parenthèses d’abord, puis soustrayons le résultat de \(\displaystyle \frac{2x}{3}\).

1. Simplifier l’expression dans les parenthèses :
   • \(\displaystyle \frac{3x}{2} + \frac{x}{9}\)
   1. Trouver le dénominateur commun :
      • Les dénominateurs sont 2 et 9.
      • Le plus petit commun multiple est 18.
   2. Réécrire chaque fraction avec le dénominateur 18 :
      • \(\displaystyle \frac{3x}{2} = \frac{27x}{18}\) (multiplié par 9)
      • \(\displaystyle \frac{x}{9} = \frac{2x}{18}\) (multiplié par 2)
   3. Additionner les fractions :
      • \(\displaystyle \frac{27x}{18} + \frac{2x}{18} = \frac{29x}{18}\)
2. Effectuer la soustraction :
   • \(\displaystyle \frac{2x}{3} - \frac{29x}{18}\)
   1. Réécrire \(\displaystyle \frac{2x}{3}\) avec le dénominateur 18 :
      • \(\displaystyle \frac{2x}{3} = \frac{12x}{18}\) (multiplié par 6)
   2. Soustraire les fractions :
      • \(\displaystyle \frac{12x}{18} - \frac{29x}{18} = \frac{-17x}{18}\)

Réponse simplifiée : \(-\displaystyle \frac{17x}{18}\)