Calculer la valeur des expressions suivantes et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible ou d’un nombre entier :
\(\displaystyle \frac{a + b + c}{a - b - c}\) pour \(a = -\frac{1}{2}\), \(b = +2\) et \(c = -\frac{1}{4}\)
\(\displaystyle \frac{x^{2} - \frac{1}{3}}{y^{2} + \frac{1}{3}}\) pour \(x = 0,\overline{3}\) et \(y = -\frac{1}{2}\)
\(\displaystyle \frac{a^{2}b - ab^{2}}{2a}\) pour \(a = -\frac{1}{3}\) et \(b = +9\)
\(\displaystyle \frac{x^{2} - y^{3}}{x^{3} - y^{2}}\) pour \(x = -\frac{1}{3}\) et \(y = -\frac{1}{2}\)
\(\displaystyle \frac{a + b^{2} + \frac{1}{2}}{2ab}\) pour \(a = -\frac{1}{4}\) et \(b = -0,6\)
\(\displaystyle \frac{a - b^{2}}{a \cdot b}\) pour \(a = +\frac{3}{4}\) et \(b = -\frac{2}{3}\)
Les réponses finales sont :
1) –5/9
2) –8/21
3) –42
4) –51/62
5) 61/30
6) –11/18
Nous allons corriger chacune des expressions pas à pas en remplaçant les valeurs données et en simplifiant chaque expression.
────────────────────────────── Exercice 1) Calculer (a + b + c)/(a – b – c) pour a = –½, b = +2, c = –¼
a + b + c = (–½) + 2 + (–¼).
Pour additionner, il est pratique d’écrire toutes les fractions avec un même dénominateur. Remarquons que –½ = –2/4. Donc : –2/4 + 2 + (–1/4) = (–2/4 – 1/4) + 2 = –3/4 + 2. Exprimer 2 sous la forme d’une fraction avec dénominateur 4 : 2 = 8/4. Ainsi, –3/4 + 8/4 = 5/4.
a – b – c = (–½) – 2 – (–¼).
Ici, la soustraction de (–¼) se transforme en addition de 1/4 : = (–½) – 2 + 1/4. Encore une fois, écrire –½ sous la forme –2/4 et 2 = 8/4 : = (–2/4 – 8/4) + 1/4 = (–10/4) + 1/4 = –9/4.
(a + b + c)/(a – b – c) = (5/4) ÷ (–9/4) = (5/4) × (4/(–9)). On simplifie le 4 en numérateur et dénominateur : = 5/(–9) = –5/9.
La réponse de l’exercice 1 est : –5/9.
────────────────────────────── Exercice 2) Calculer (x² – 1/3)/(y² + 1/3) pour x = 0,overline{3} et y = –½
Remarquons que x = 0,overline{3} est une écriture décimale pour 1/3. Donc, x = 1/3 et y = –½.
Calcul du numérateur :
x² – 1/3 = (1/3)² – 1/3 = 1/9 – 1/3. Pour soustraire, on écrit 1/3 avec le dénominateur 9 : 1/3 = 3/9. Donc, 1/9 – 3/9 = –2/9.
y² + 1/3 = (–½)² + 1/3 = 1/4 + 1/3. Trouvons un dénominateur commun, ici 12 : 1/4 = 3/12 et 1/3 = 4/12. Ainsi, 3/12 + 4/12 = 7/12.
(x² – 1/3)/(y² + 1/3) = (–2/9) ÷ (7/12) = (–2/9) × (12/7). On peut simplifier : 12/9 = 4/3 . Ainsi, = (–2 × 4)/(3 × 7) = –8/21.
La réponse de l’exercice 2 est : –8/21.
────────────────────────────── Exercice 3) Calculer (a²b – ab²)/(2a) pour a = –1/3 et b = 9
a²b – ab² = ab(a – b).
L’expression devient alors : [ab(a – b)]/(2a). On peut simplifier a (en supposant a ≠ 0) : = [b(a – b)]/2.
Remplaçons a et b par leurs valeurs :
a – b = (–1/3) – 9. Pour soustraire 9, écrire 9 avec le dénominateur 3 : 9 = 27/3. Donc, a – b = –1/3 – 27/3 = –28/3.
Ensuite, b(a – b) = 9 × (–28/3). Calculons : 9 × (–28/3) = –252/3 = –84.
(b(a – b))/2 = (–84)/2 = –42.
La réponse de l’exercice 3 est : –42.
────────────────────────────── Exercice 4) Calculer (x² – y³)/(x³ – y²) pour x = –1/3 et y = –½
x² = (–1/3)² = 1/9. y³ = (–½)³ = –1/8. Ainsi, x² – y³ = 1/9 – (–1/8) = 1/9 + 1/8. Pour additionner 1/9 et 1/8, trouvons un dénominateur commun : 72. 1/9 = 8/72 et 1/8 = 9/72. Donc, numérateur = 8/72 + 9/72 = 17/72.
x³ = (–1/3)³ = –1/27. y² = (–½)² = 1/4. Donc, x³ – y² = –1/27 – 1/4. Trouvons un dénominateur commun : 27 et 4 → 108. –1/27 = –4/108 et 1/4 = 27/108. Ainsi, dénominateur = (–4/108 – 27/108) = –31/108.
(x² – y³)/(x³ – y²) = (17/72) ÷ (–31/108) = (17/72) × (108/(–31)). Simplifions 108 et 72 : 108 ÷ 72 = 3/2. Donc, = 17 × (3/2) / (–31) = (51/2)/(–31) = –51/(2×31) = –51/62.
La réponse de l’exercice 4 est : –51/62.
────────────────────────────── Exercice 5) Calculer (a + b² + ½)/(2ab) pour a = –¼ et b = –0,6
Rappelons que b = –0,6. Pour travailler sous forme de fraction, écrivons : –0,6 = –6/10 = –3/5.
Calcul du numérateur :
a + b² + ½. On a a = –¼. Calculons b² : (–3/5)² = 9/25. Ainsi, numérateur = (–1/4) + 9/25 + 1/2. Pour additionner, cherchons un dénominateur commun. Un bon choix est 100 (car 4, 25 et 2 divisent 100) : –1/4 = –25/100, 9/25 = 36/100, 1/2 = 50/100. La somme est alors : –25/100 + 36/100 + 50/100 = (–25 + 36 + 50)/100 = 61/100.
2ab = 2 × (–1/4) × (–3/5). D’abord, (–1/4) × (–3/5) = 3/20 (le produit de deux nombres négatifs est positif). Ensuite, 2 × (3/20) = 6/20, qui se simplifie en 3/10.
(a + b² + ½)/(2ab) = (61/100) ÷ (3/10) = (61/100) × (10/3). On peut simplifier 10/100 = 1/10 : = 61/(10×3) = 61/30.
La réponse de l’exercice 5 est : 61/30.
────────────────────────────── Exercice 6) Calculer (a – b²)/(a · b) pour a = +¾ et b = –2/3
a – b². Calculons b² : (–2/3)² = 4/9. Ainsi, numérateur = 3/4 – 4/9. Pour soustraire ces fractions, trouvons le dénominateur commun, ici 36 : 3/4 = 27/36, 4/9 = 16/36. La différence est : 27/36 – 16/36 = 11/36.
a · b = (3/4) × (–2/3). Calculons : (3 × (–2))/(4 × 3) = –6/12 = –1/2.
(a – b²)/(a · b) = (11/36) ÷ (–1/2) = (11/36) × (–2/1) = –22/36. Simplifions en divisant le numérateur et le dénominateur par 2 : –22/36 = –11/18.
La réponse de l’exercice 6 est : –11/18.
────────────────────────────── Récapitulatif des réponses :
Chaque étape a été décomposée afin de comprendre le processus de simplification et de manipulation des fractions.