\[\frac{x^{2}-4 y^{2}}{x y+2 y^{2}} \cdot \frac{2 y}{4 x y-2 x^{2}}\]
\[\frac{x^{2}+8 x+7}{5 x+35} \cdot \frac{x^{2}-1}{x^{2}+2 x+1}\]
\[\frac{2 x y+6 y}{y-2} \cdot \frac{y^{2}-2 y}{9-x^{2}}\]
\[\frac{-x^{3}-2 x^{2}+8 x}{x^{2}-8 x+16} \cdot \frac{x^{2}-4 x}{x+4}\]
\[\frac{a^{2}-2 a b+b^{2}}{a^{2}+2 a b+b^{2}} \cdot\left(-\frac{2}{a-b}\right) \cdot \frac{a^{2}-b^{2}}{2 a-2 b}\]
\[\frac{a^{2} b^{2}-a b-6}{3 a b-9} \cdot \frac{a^{2} b^{2}-4}{a^{2} b^{2}+4 a b+4}\]
Réponses : 7) –1/x
8) (x – 1)/5
9) 2y²/(3 – x)
10) –[x²(x – 2)]/(x – 4)
11) –(a – b)/(a + b)
12) (ab – 2)/3
Nous allons simplifier chacune des expressions en procédant étape par étape. Pour chaque exercice, nous allons factoriser les polynômes, annuler les facteurs communs et écrire l’expression sous sa forme la plus réduite. On travaille en supposant que les dénominateurs ne s’annulent pas (ce qui impose certaines conditions sur les variables).
────────────────────────────── Exercice 7)
On doit simplifier : [(x² – 4y²)/(xy + 2y²)] × [2y/(4xy – 2x²)]
– Dans le numérateur du premier quotient, on reconnaît une différence de carrés : x² – 4y² = (x – 2y)(x + 2y).
– Dans le dénominateur du premier quotient : xy + 2y² = y(x + 2y).
– Dans le dénominateur du second quotient, remarquons un facteur commun : 4xy – 2x² = 2x(2y – x). Remarquons que 2y – x = –(x – 2y). Donc, 4xy – 2x² = 2x [–(x – 2y)] = –2x(x – 2y).
La multiplication devient donc : [(x – 2y)(x + 2y) / (y(x + 2y))] × [2y / {–2x(x – 2y)}].
• Le facteur (x + 2y) apparaît dans le numérateur du premier quotient et dans son dénominateur. • Le facteur (x – 2y) apparaît dans le numérateur du premier quotient et dans le dénominateur du second. • Le 2 et y se simplifient également.
En écrivant le produit : = [(x – 2y)(x + 2y) × 2y] / [y(x + 2y) × (–2x)(x – 2y)] = – [ (x – 2y)(x + 2y)×2y ] / [ 2x×y×(x + 2y)(x – 2y) ].
En annulant (x – 2y), (x + 2y), 2 et y, il reste : = – 1/x.
La forme simplifiée est donc : Réponse 7 : –1/x.
────────────────────────────── Exercice 8)
On doit simplifier : [(x² + 8x + 7)/(5x + 35)] × [(x² – 1)/(x² + 2x + 1)].
• x² + 8x + 7 se factorise en (x + 1)(x + 7). • 5x + 35 = 5(x + 7). • x² – 1 est une différence de carrés : (x – 1)(x + 1). • x² + 2x + 1 = (x + 1)².
L’expression devient : [(x + 1)(x + 7) / (5(x + 7))] × [ (x – 1)(x + 1) / (x + 1)²].
• Dans le premier quotient, (x + 7) se simplifie. • Dans le second quotient, annulez un (x + 1) présent au numérateur avec un (x + 1) du dénominateur.
On obtient : = [(x + 1)/5] × [(x – 1)/(x + 1)].
En annulant (x + 1), on a : = (x – 1)/5.
La forme simplifiée est donc : Réponse 8 : (x – 1)/5.
────────────────────────────── Exercice 9)
On doit simplifier : [(2xy + 6y)/(y – 2)] × [(y² – 2y)/(9 – x²)].
• Dans le numérateur du premier quotient : 2xy + 6y = 2y(x + 3). • Le dénominateur reste (y – 2).
• Dans le numérateur du second quotient : y² – 2y = y(y – 2). • Pour le dénominateur 9 – x², on reconnaît une différence de carrés : 9 – x² = (3 – x)(3 + x).
Remarquons que 3 + x est identique à x + 3 (l’ordre n’affecte pas le produit).
L’expression devient : [2y(x + 3)/(y – 2)] × [y(y – 2)/((3 – x)(x + 3))].
• Le facteur (y – 2) apparaît en numérateur (du second quotient) et en dénominateur (du premier). • Le facteur (x + 3) apparaît en numérateur du premier quotient et en dénominateur du second.
Après annulation, il reste : = [2y × y] / (3 – x) (car 2y·y = 2y²).
La forme simplifiée est : Réponse 9 : 2y²/(3 – x).
────────────────────────────── Exercice 10)
On doit simplifier : [–x³ – 2x² + 8x] / [x² – 8x + 16] × [x² – 4x] / [x + 4].
• Dans le numérateur du premier quotient, mettons en évidence x : –x³ – 2x² + 8x = x(–x² – 2x + 8). On peut extraire un signe négatif : = –x(x² + 2x – 8). Le trinôme x² + 2x – 8 se factorise en (x + 4)(x – 2) (puisque 4 × (–2) = –8 et 4 + (–2) = 2). Ainsi, le numérateur devient : –x(x + 4)(x – 2).
• Le dénominateur du premier quotient : x² – 8x + 16 se factorise en (x – 4)² (car c’est le carré de x – 4).
• Dans le deuxième quotient : x² – 4x = x(x – 4). Le dénominateur est x + 4.
L’expression devient : [–x(x + 4)(x – 2) / (x – 4)²] × [x(x – 4) / (x + 4)].
• On peut annuler (x + 4) qui apparaît au numérateur du premier quotient et au dénominateur du second. • Le facteur (x – 4) du numérateur (du second quotient) annule une partie du dénominateur (x – 4)².
Après simplifications, on obtient : = –x × x × (x – 2) / (x – 4) (car (x – 4)²/(x – 4) = (x – 4)).
Cela donne : = –x²(x – 2)/(x – 4).
La forme simplifiée est donc : Réponse 10 : –[x²(x – 2)]/(x – 4).
────────────────────────────── Exercice 11)
On doit simplifier : [(a² – 2ab + b²)/(a² + 2ab + b²)] × [–2/(a – b)] × [(a² – b²)/(2a – 2b)].
• a² – 2ab + b² se factorise en (a – b)². • a² + 2ab + b² se factorise en (a + b)². Donc le premier quotient devient : (a – b)²/(a + b)².
• Pour le troisième quotient : a² – b² est une différence de carrés, donc = (a – b)(a + b). 2a – 2b = 2(a – b). Ainsi, le troisième quotient se simplifie en : [(a – b)(a + b)] / [2(a – b)] = (a + b)/2 (en annulant a – b).
Rassemblons les trois facteurs : = [(a – b)²/(a + b)²] × [–2/(a – b)] × [(a + b)/2].
Annulons les facteurs communs :
• Le (a – b) présent au dénominateur du second facteur annule une puissance dans (a – b)², laissant (a – b). • Le –2 et 2 se simplifient. • Un (a + b) du numérateur du troisième annule une puissance dans (a + b)².
On obtient : = –(a – b)/(a + b).
La forme simplifiée est donc : Réponse 11 : –(a – b)/(a + b).
────────────────────────────── Exercice 12)
On doit simplifier : [(a²b² – ab – 6)/(3ab – 9)] × [(a²b² – 4)/(a²b² + 4ab + 4)].
Il est astucieux de poser t = ab afin de simplifier l’écriture.
• Le numérateur du premier quotient devient : t² – t – 6. Ce trinôme se factorise en (t – 3)(t + 2). • Le dénominateur du premier quotient : 3ab – 9 = 3(t – 3).
Ainsi, le premier quotient devient : (t – 3)(t + 2) / [3(t – 3)]. Nous pouvons annuler (t – 3) (à condition que t ≠ 3), ce qui donne : = (t + 2)/3.
• Le numérateur : a²b² – 4 = t² – 4, qui se factorise en (t – 2)(t + 2) (c’est une différence de carrés). • Le dénominateur : a²b² + 4ab + 4 = t² + 4t + 4, qui se factorise en (t + 2)².
Ainsi, le deuxième quotient devient : [(t – 2)(t + 2)]/(t + 2)² = (t – 2)/(t + 2).
Enfin, en remplaçant t par ab, nous obtenons : = (ab – 2)/3.
La forme simplifiée est donc : Réponse 12 : (ab – 2)/3.
────────────────────────────── Résumé des réponses :
Chaque étape consiste à factoriser, simplifier et annuler les facteurs communs pour obtenir une écriture plus concise de l’expression initiale.