Simplifiez l’expression \(\frac{b^{2} x + a^{2} x}{b x}\).
Simplifiez l’expression \(\frac{x^{2} y - y^{2} x}{x^{2} y^{2}}\).
Simplifiez l’expression \(\frac{-a x}{a^{2} x^{2} - a x}\).
Simplifiez l’expression \(\frac{4 x^{7} y + 2 x^{6} y^{2}}{4 x^{3} y^{2}}\).
Simplifiez l’expression \(\frac{2 x^{3} + 2 x y^{2}}{4 x^{2} y + 4 x y^{2}}\).
Simplifiez l’expression \(\frac{2 x^{3} y^{6} - 2 x^{2} y^{6}}{3 x^{4} y^{3} + 3 x^{5} y^{3}}\).
Réponses finales :
Voici la correction détaillée de chaque simplification.
────────────────────────────── Exercice 1 : On considère l’expression : (b²·x + a²·x) / (b·x)
Dans le numérateur, on remarque que le facteur x est commun aux deux termes. On factorise : x(b² + a²)
L’expression devient alors : [x(b² + a²)] / (b·x)
On peut simplifier le facteur x qui apparaît au numérateur et au dénominateur (en supposant x ≠ 0) : (b² + a²) / b
Réponse finale : (b² + a²)/b
────────────────────────────── Exercice 2 : On considère l’expression : (x²·y − y²·x) / (x²·y²)
Dans le numérateur, on remarque que x·y est un facteur commun : x²·y − y²·x = x·y (x − y)
L’expression devient alors : [x·y (x − y)] / (x²·y²)
On simplifie en annulant un facteur x et un facteur y : x/x² = 1/x et y/y² = 1/y
Ainsi, on obtient : (x − y) / (x·y)
Réponse finale : (x − y)/(x·y)
────────────────────────────── Exercice 3 : On considère l’expression : (−a·x) / (a²·x² − a·x)
Dans le dénominateur, on remarque que le facteur a·x est commun : a²·x² − a·x = a·x (a·x − 1)
L’expression devient : (−a·x) / [a·x (a·x − 1)]
On simplifie le facteur a·x qui se retrouve en numérateur et dénominateur (en supposant que a et x sont non nuls) : −1 / (a·x − 1)
Pour obtenir une écriture plus élégante, on peut multiplier le numérateur et le dénominateur par −1, ce qui donne : 1 / (1 − a·x)
Réponse finale : 1/(1 − a·x)
────────────────────────────── Exercice 4 : On considère l’expression : (4·x⁷·y + 2·x⁶·y²) / (4·x³·y²)
Dans le numérateur, on peut factoriser le terme commun 2·x⁶·y : 4·x⁷·y + 2·x⁶·y² = 2·x⁶·y (2·x + y)
L’expression devient : [2·x⁶·y (2·x + y)] / (4·x³·y²)
On simplifie les coefficients : 2/4 = 1/2
On simplifie les puissances de x : x⁶/x³ = x³
On simplifie le y : y/y² = 1/y
Ainsi, l’expression s’écrit : [x³ (2·x + y)] / (2·y)
Réponse finale : (x³(2x + y))/(2y)
────────────────────────────── Exercice 5 : On considère l’expression : (2·x³ + 2·x·y²) / (4·x²·y + 4·x·y²)
Dans le numérateur, on identifie le facteur commun 2·x : 2·x³ + 2·x·y² = 2·x (x² + y²)
Dans le dénominateur, on factorise 4·x·y : 4·x²·y + 4·x·y² = 4·x·y (x + y)
L’expression se transforme en : [2·x (x² + y²)] / [4·x·y (x + y)]
On simplifie le facteur 2·x avec 4·x·y : 2/4 = 1/2 et x/x = 1, ce qui donne : (x² + y²) / [2·y (x + y)]
Réponse finale : (x² + y²)/(2y(x + y))
────────────────────────────── Exercice 6 : On considère l’expression : (2·x³·y⁶ − 2·x²·y⁶) / (3·x⁴·y³ + 3·x⁵·y³)
Dans le numérateur, on remarque que 2·x²·y⁶ est un facteur commun : 2·x³·y⁶ − 2·x²·y⁶ = 2·x²·y⁶ (x − 1)
Dans le dénominateur, on remarque que 3·x⁴·y³ est un facteur commun : 3·x⁴·y³ + 3·x⁵·y³ = 3·x⁴·y³ (1 + x)
L’expression devient donc : [2·x²·y⁶ (x − 1)] / [3·x⁴·y³ (1 + x)]
On simplifie les puissances de x : x²/x⁴ = 1/x²
On simplifie celles de y : y⁶/y³ = y³
Ainsi, l’expression se transforme en : (2·y³ (x − 1)) / (3·x² (x + 1))
Réponse finale : (2y³(x − 1))/(3x²(x + 1))
────────────────────────────── Ces démarches détaillées permettent d’arriver aux réponses finales de chaque exercice en appliquant des factorisations et des simplifications étape par étape.