Exercice 115

\(\left(\frac{19}{3} - 4\right) \cdot \frac{21}{91}\)
\(\frac{\frac{4}{7} + \frac{2}{5}}{\frac{1}{5} + \frac{3}{7}}\)
\(-\frac{3}{4} + \frac{5}{12} - 0,2\)
\(-\left(\frac{3}{35} + \frac{8}{21}\right) + \left(-\frac{1}{5}\right)\)
\(\frac{\frac{2}{3} + \frac{3}{4} - 1}{2 - \frac{3}{7} \cdot \frac{21}{6}}\)
\(\frac{39}{6} : \left(-\frac{65}{10}\right)\)

Réponse

Exercice 7 : \(\frac{7}{13}\)
Exercice 8 : \(\frac{17}{11}\)
Exercice 9 : \(-\frac{8}{15}\)
Exercice 10 : \(-\frac{2}{3}\)
Exercice 11 : \(\frac{5}{6}\)
Exercice 12 : \(-1\)

Question :
\[ \left(\frac{19}{3} - 4\right) \times \frac{21}{91} \]

Étapes de résolution :

Effectuer la soustraction dans la première parenthèse : \[ \frac{19}{3} - 4 = \frac{19}{3} - \frac{12}{3} = \frac{19 - 12}{3} = \frac{7}{3} \]
Multiplier le résultat par \(\frac{21}{91}\) : \[ \frac{7}{3} \times \frac{21}{91} \]
Simplifier les fractions avant de multiplier :
- Simplifions \(\frac{21}{91}\) en factorisant numérateur et dénominateur : \[ \frac{21}{91} = \frac{21 \div 7}{91 \div 7} = \frac{3}{13} \]
- Donc, l’expression devient : \[ \frac{7}{3} \times \frac{3}{13} \]
Effectuer la multiplication des fractions : \[ \frac{7 \times 3}{3 \times 13} = \frac{21}{39} \]
Simplifier la fraction \(\frac{21}{39}\) :
- Divisons numérateur et dénominateur par 3 : \[ \frac{21 \div 3}{39 \div 3} = \frac{7}{13} \]

Réponse : \[ \frac{7}{13} \]

Question :
\[ \frac{\frac{4}{7} + \frac{2}{5}}{\frac{1}{5} + \frac{3}{7}} \]

Étapes de résolution :

Calculer le numérateur : \[ \frac{4}{7} + \frac{2}{5} \]
- Trouvons le dénominateur commun, qui est 35.
- Convertissons chaque fraction : \[ \frac{4}{7} = \frac{20}{35}, \quad \frac{2}{5} = \frac{14}{35} \]
- Additionnons les deux fractions : \[ \frac{20}{35} + \frac{14}{35} = \frac{34}{35} \]
Calculer le dénominateur : \[ \frac{1}{5} + \frac{3}{7} \]
- Trouvons le dénominateur commun, qui est 35.
- Convertissons chaque fraction : \[ \frac{1}{5} = \frac{7}{35}, \quad \frac{3}{7} = \frac{15}{35} \]
- Additionnons les deux fractions : \[ \frac{7}{35} + \frac{15}{35} = \frac{22}{35} \]
Diviser le numérateur par le dénominateur : \[ \frac{\frac{34}{35}}{\frac{22}{35}} = \frac{34}{35} \times \frac{35}{22} = \frac{34}{22} \]
Simplifier la fraction \(\frac{34}{22}\) :
- Divisons numérateur et dénominateur par 2 : \[ \frac{34 \div 2}{22 \div 2} = \frac{17}{11} \]

Réponse : \[ \frac{17}{11} \]

Question :
\[ -\frac{3}{4} + \frac{5}{12} - 0,2 \]

Étapes de résolution :

Convertir le nombre décimal en fraction : \[ 0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \]
Exprimer toutes les fractions avec un dénominateur commun :
- Le dénominateur commun pour \(\frac{3}{4}\), \(\frac{5}{12}\), et \(\frac{1}{5}\) est 60.
- Convertissons chaque fraction : \[ -\frac{3}{4} = -\frac{45}{60}, \quad \frac{5}{12} = \frac{25}{60}, \quad -\frac{1}{5} = -\frac{12}{60} \]
Effectuer les opérations : \[ -\frac{45}{60} + \frac{25}{60} - \frac{12}{60} = \frac{-45 + 25 - 12}{60} = \frac{-32}{60} \]
Simplifier la fraction \(\frac{-32}{60}\) :
- Divisons numérateur et dénominateur par 4 : \[ \frac{-32 \div 4}{60 \div 4} = \frac{-8}{15} \]

Réponse : \[ -\frac{8}{15} \]

Question :
\[ -\left(\frac{3}{35} + \frac{8}{21}\right) + \left(-\frac{1}{5}\right) \]

Étapes de résolution :

Calculer la somme à l’intérieur de la première parenthèse : \[ \frac{3}{35} + \frac{8}{21} \]
- Le dénominateur commun est 105.
- Convertissons chaque fraction : \[ \frac{3}{35} = \frac{9}{105}, \quad \frac{8}{21} = \frac{40}{105} \]
- Additionnons les deux fractions : \[ \frac{9}{105} + \frac{40}{105} = \frac{49}{105} \]
Appliquer le signe négatif devant la parenthèse : \[ -\frac{49}{105} \]
Ajouter \(-\frac{1}{5}\) : \[ -\frac{49}{105} + \left(-\frac{1}{5}\right) \]
- Convertissons \(-\frac{1}{5}\) en termes de dénominateur 105 : \[ -\frac{1}{5} = -\frac{21}{105} \]
- Additionnons les fractions : \[ -\frac{49}{105} - \frac{21}{105} = -\frac{70}{105} \]
Simplifier la fraction \(-\frac{70}{105}\) :
- Divisons numérateur et dénominateur par 35 : \[ -\frac{70 \div 35}{105 \div 35} = -\frac{2}{3} \]

Réponse : \[ -\frac{2}{3} \]

Question :
\[ \frac{\frac{2}{3} + \frac{3}{4} - 1}{2 - \frac{3}{7} \times \frac{21}{6}} \]

Étapes de résolution :

Calculer le numérateur : \[ \frac{2}{3} + \frac{3}{4} - 1 \]
- Trouvons le dénominateur commun pour \(\frac{2}{3}\) et \(\frac{3}{4}\), qui est 12.
- Convertissons chaque fraction : \[ \frac{2}{3} = \frac{8}{12}, \quad \frac{3}{4} = \frac{9}{12} \]
- Additionnons les deux fractions : \[ \frac{8}{12} + \frac{9}{12} = \frac{17}{12} \]
- Soustrayons 1 (qui est \(\frac{12}{12}\)) : \[ \frac{17}{12} - \frac{12}{12} = \frac{5}{12} \]
Calculer le dénominateur : \[ 2 - \frac{3}{7} \times \frac{21}{6} \]
- Effectuons la multiplication : \[ \frac{3}{7} \times \frac{21}{6} = \frac{63}{42} = \frac{3}{2} \]
- Soustrayons de 2 : \[ 2 - \frac{3}{2} = \frac{4}{2} - \frac{3}{2} = \frac{1}{2} \]
Diviser le numérateur par le dénominateur : \[ \frac{\frac{5}{12}}{\frac{1}{2}} = \frac{5}{12} \times 2 = \frac{10}{12} \]
Simplifier la fraction \(\frac{10}{12}\) :
- Divisons numérateur et dénominateur par 2 : \[ \frac{10 \div 2}{12 \div 2} = \frac{5}{6} \]

Réponse : \[ \frac{5}{6} \]

Question :
\[ \frac{39}{6} \div \left(-\frac{65}{10}\right) \]

Étapes de résolution :

Comprendre la division de fractions : \[ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} \]
Appliquer la règle de division des fractions : \[ \frac{39}{6} \div \left(-\frac{65}{10}\right) = \frac{39}{6} \times \left(-\frac{10}{65}\right) \]
Simplifier avant de multiplier :
- Simplifions \(\frac{39}{6}\) : \[ \frac{39}{6} = \frac{13}{2} \quad (\text{en divisant par 3}) \]
- Simplifions \(\frac{10}{65}\) : \[ \frac{10}{65} = \frac{2}{13} \quad (\text{en divisant par 5}) \]
Effectuer la multiplication : \[ \frac{13}{2} \times \left(-\frac{2}{13}\right) = -\frac{26}{26} = -1 \]

Réponse : \[ -1 \]