Exercice 111

Calcul de la vitesse moyenne

Pour un cycliste parcourant une certaine distance, la vitesse moyenne (\(V_m\)) se calcule à l’aide de la formule suivante :

\[ V_m = \frac{D}{t} \]

où \(D\) est la distance parcourue en kilomètres et \(t\) le temps en heures.

Calcule la vitesse moyenne lorsque le cycliste a parcouru :

  1. \(60 \, \mathrm{km}\) en \(2 \, \mathrm{h}\).

  2. \(45 \, \mathrm{km}\) en \(1,5 \, \mathrm{h}\).

  3. \(0 \, \mathrm{km}\) en \(3 \, \mathrm{h}\).

  4. \(30 \, \mathrm{km}\) en \(0,5 \, \mathrm{h}\).

Opérations sur les nombres relatifs

Calculs

  1. Effectue les calculs suivants :

    1. \((-35) + 20 = \quad\)

    2. \(15 - (-25) = \quad\)

    3. \((-48) \div 12 = \quad\)

    4. \(-7 - 8 = \quad\)

    5. \((-9)^{2} - 81 = \quad\)

    6. \(-9^{2} - 81 = \quad\)

    7. \(56 - 7 \cdot (-3)^{2} = \quad\)

    8. \(\left(\frac{48}{6} \cdot 3\right) \cdot (-8) + 4 = \quad\)

    9. \(-3^{2} \cdot 19 + 4 \cdot (-6) = \quad\)

    10. \(50^{0} + 60 \cdot (-2) = \quad\)

  2. Trouve toutes les paires de nombres entiers relatifs dont le produit est égal à \(-21\).

    \(\quad\)

    \(\quad\)

    \(\quad\)

  3. Existe-t-il un nombre dont le cube est négatif ?

    \(\quad\)

    \(\quad\)

    \(\quad\)

Écriture décimale et fractionnaire

Conversion

  1. Trouve l’écriture décimale de :

    1. \(\frac{4}{50} = \quad\)

    2. \(\frac{22}{7} = \quad\)

  2. Trouve la fraction irréductible de :

    1. \(0,75 = \quad\)

    2. \(-0,\overline{4} = \quad\)

  3. Simplifie les fractions pour les rendre irréductibles.

    1. \(\frac{18}{24} = \quad\)

    2. \(\frac{9 \cdot 4}{4 \cdot 12} = \quad\)

    3. \(\frac{420}{60} = \quad\)

  4. Complète :

    1. \(\mathrm{ppmc}(16, 20) = \quad\)

    2. \(\mathrm{pgdc}(84, 126) = \quad\)

Opérations

  1. Effectue les opérations suivantes :

    1. \(\frac{7}{15} + \frac{3}{5} = \quad\)

    2. \(5 - \frac{3}{8} = \quad\)

    3. \(\frac{5}{16} + \frac{7}{24} = \quad\)

    1. Calcule les trois quarts de 80 en indiquant les opérations effectuées.

    2. Calcule 25 % de 160.

  3. Un jardinier a planté les quatre cinquièmes de son jardin en tomates et les deux cinquièmes en carottes. Le reste est planté en laitues.

    Quelle fraction de son jardin est occupée par les laitues ?

  4. Lucas a utilisé les trois quarts de son crédit internet, soit 9 heures. Quel est le nombre total d’heures du crédit de Lucas ?

Comparaison d’expressions

Complète avec le signe \(=\) ou \(\neq\).

  1. \(0,63 - \frac{9}{20} \quad\)

  2. \(\frac{2}{5} \quad 0,40 \quad\)

  3. \(\frac{1}{16} - 0,0625 \quad\)

  4. \(\frac{36}{30} - 1,2 \quad\)

Réponse

I – Vitesse moyenne :  a) 60 km/2 h = 30 km/h  b) 45 km/1,5 h = 30 km/h  c) 0 km/3 h = 0 km/h  d) 30 km/0,5 h = 60 km/h

II – Nombres relatifs :  1) –35+20=–15, 15–(–25)=40, –48÷12=–4, –7–8=–15, (–9)²–81=0, –9²–81=–162, 56–7·(–3)²=–7, ((48÷6)·3)·(–8)+4=–188, –3²·19+4·(–6)=–195, 50⁰+60·(–2)=–119.  2) Paires pour –21 : (1,–21), (–1,21), (3,–7), (–3,7), (7,–3), (–7,3), (21,–1), (–21,1).  3) Un cube négatif existe : (–2)³=–8.

III – Écritures décimale et fractionnaire :  1) 4/50 = 0,08  22/7 ≈ 3,142857…  2) 0,75 = 3/4  –0,‾4 = –4/9  3) 18/24 = 3/4  (9·4)/(4·12) = 3/4  420/60 = 7  4) ppmc(16,20) = 80  pgdc(84,126) = 42

IV – Fractions et pourcentages :  5a) 7/15 + 3/5 = 16/15  5b) 5 – (3/8) = 37/8  5c) 5/16 + 7/24 = 29/48  6a) (3/4) de 80 = 60  6b) 25 % de 160 = 40  7) 4/5 + 2/5 = 6/5 > 1 → incohérence dans l’énoncé  8) Si (3/4) du crédit = 9 h, alors le crédit total = 9×(4/3) = 12 h

V – Comparaisons :  a) 0,63 – (9/20) = 0,18  b) 2/5 = 0,40  c) 1/16 = 0,0625  d) 36/30 = 1,2

Voilà le résumé final de l’exercice.

Corrigé détaillé

Voici ci-dessous la correction détaillée de l’exercice.

────────────────────────────── I – Calcul de la vitesse moyenne

On se rappelle que la vitesse moyenne se calcule par la formule :   Vₘ = D ÷ t, où D est la distance parcourue (en kilomètres) et t le temps (en heures).

  1. Pour 60 km en 2 h :   Vₘ = 60 ÷ 2 = 30 km/h.   Le cycliste roule à 30 km/h.

  2. Pour 45 km en 1,5 h :   Vₘ = 45 ÷ 1,5.   Pour diviser, on peut multiplier en multipliant par le nombre réciproque :     45 ÷ 1,5 = 45 × (2/3) = 30.   Le résultat est 30 km/h.

  3. Pour 0 km en 3 h :   Vₘ = 0 ÷ 3 = 0 km/h.   On constate que si aucune distance n’est parcourue, la vitesse moyenne est nulle.

  4. Pour 30 km en 0,5 h :   Vₘ = 30 ÷ 0,5.   Diviser par 0,5 revient à multiplier par 2 :     30 × 2 = 60 km/h.   Le cycliste roule à 60 km/h.

────────────────────────────── II – Opérations sur les nombres relatifs

  1. Calculs :

  1. (–35) + 20
      On additionne 20 à –35 :     –35 + 20 = –15.

  2. 15 – (–25)
      Soustraire un nombre négatif revient à ajouter son opposé :     15 – (–25) = 15 + 25 = 40.

  3. (–48) ÷ 12
      Diviser un négatif par un positif donne un résultat négatif :     –48 ÷ 12 = –4.

  4. –7 – 8
      Additionner deux nombres négatifs donne une somme négative :     –7 – 8 = –15.

  5. (–9)² – 81
      (–9)² signifie que le nombre –9 est élevé au carré, c’est-à-dire (–9)×(–9) = 81.     81 – 81 = 0.

  6. –9² – 81
      Attention à la priorité des opérations : sans parenthèses, l’exposant s’applique uniquement à 9.     9² = 81, puis le signe – s’applique ensuite, donc –9² = –81.     Ensuite, –81 – 81 = –162.

  7. 56 – 7 · (–3)²
      Calculons d’abord (–3)².
        (–3)² = (–3)×(–3) = 9.   Ensuite, on multiplie par 7 : 7 · 9 = 63.   Enfin, 56 – 63 = –7.

  8. ((48 ÷ 6) · 3) · (–8) + 4
      1. 48 ÷ 6 = 8.
      2. 8 · 3 = 24.
      3. 24 · (–8) = –192.
      4. –192 + 4 = –188.

  9. –3² · 19 + 4 · (–6)
      Comme précédemment, –3² signifie –(3²) = –9.
      1. (–9) · 19 = –171.
      2. 4 · (–6) = –24.
      Addition : –171 + (–24) = –195.

  10. 50⁰ + 60 · (–2)
      Tout nombre non nul élevé à la puissance 0 vaut 1, ainsi 50⁰ = 1.
      Ensuite, 60 · (–2) = –120.
      Finalement, 1 + (–120) = –119.

────────────────────────────── 2. Trouver toutes les paires de nombres entiers relatifs dont le produit est égal à –21.

On cherche deux nombres entiers a et b tels que a × b = –21.
Pour obtenir un produit négatif, l’un des deux doit être négatif et l’autre positif.

Les diviseurs de 21 (en valeur absolue) sont : 1, 3, 7, 21.
Les paires possibles sont :   • 1 et 21 ⇒ (1 ; –21) et (–1 ; 21)   • 3 et 7 ⇒ (3 ; –7) et (–3 ; 7)   • 7 et 3 ⇒ (7 ; –3) et (–7 ; 3)   • 21 et 1 ⇒ (21 ; –1) et (–21 ; 1)

On peut résumer en indiquant par exemple :   Les paires sont : {1, –21}, {–1, 21}, {3, –7}, {–3, 7}, {7, –3}, {–7, 3}, {21, –1}, {–21, 1}.

────────────────────────────── 3. Existe-t-il un nombre dont le cube est négatif ?

Oui. Lorsqu’on élève un nombre négatif à la puissance 3 (une puissance impaire), le résultat est négatif.
Par exemple :
  (–2)³ = (–2) × (–2) × (–2) = 4 × (–2) = –8.
Ainsi, il existe des nombres (ceux qui sont négatifs) dont le cube est négatif.

────────────────────────────── III – Écriture décimale et fractionnaire

  1. Conversion en écriture décimale :

  1. 4/50
      Divisons 4 par 50 :
        4 ÷ 50 = 0,08.

  2. 22/7
      La division de 22 par 7 donne un nombre décimal périodique ;
        22 ÷ 7 ≈ 3,142857…
      On peut écrire : 3,142857… (la période étant « 142857 »).

  1. Conversion en fraction irréductible :

  1. 0,75
      0,75 = 75/100.
      On simplifie en divisant numérateur et dénominateur par 25 :
        75 ÷ 25 = 3 et 100 ÷ 25 = 4,
      donc 0,75 = 3/4.

  2. –0,‾4 (où 4 se répète)
      La décimale 0,444… correspond à 4/9.
      Donc –0,444… = –4/9.

  1. Simplification des fractions :

  1. 18/24
      On cherche le plus grand commun diviseur (PGCD) de 18 et 24 qui est 6.
      Divisons numérateur et dénominateur par 6 :
        18 ÷ 6 = 3 et 24 ÷ 6 = 4,
      donc 18/24 = 3/4.

  2. (9 · 4)/(4 · 12)
      On note que 4 apparaît au numérateur et au dénominateur, on peut l’annuler :
        (9 · 4)/(4 · 12) = 9/12.
      Ensuite, le PGCD de 9 et 12 est 3 :
        9 ÷ 3 = 3 et 12 ÷ 3 = 4,
      donc 9/12 = 3/4.

  3. 420/60
      Divisons 420 par 60 :
        420 ÷ 60 = 7,
      donc 420/60 s’écrit 7 (ou 7/1 s’il faut une fraction).

  1. Compléter avec le ppmc (plus petit multiple commun) et le pgdc (plus grand diviseur commun) :

  1. ppmc(16, 20)
      Factorisons :
        16 = 2⁴,
        20 = 2² × 5.
      Le ppmc se calcule en prenant pour chaque facteur premier l’exposant le plus élevé :
        Pour 2 : exposant 4, pour 5 : exposant 1.
      Ainsi, ppmc = 2⁴ × 5 = 16 × 5 = 80.

  2. pgdc(84, 126)
      Factorisons :
        84 = 2² × 3 × 7,
        126 = 2 × 3² × 7.
      Le pgdc se calcule en prenant pour chaque facteur premier l’exposant le plus faible :
        Pour 2 : exposant 1, pour 3 : exposant 1, et pour 7 : exposant 1.
      Ainsi, pgdc = 2 × 3 × 7 = 42.

────────────────────────────── IV – Opérations sur les fractions et pourcentages

  1. Effectuer les opérations suivantes :

  1. (7/15) + (3/5)
      Pour additionner, on met les fractions au même dénominateur.
      Remarquons que 5 se transforme en 15 :
        3/5 = (3×3)/(5×3) = 9/15.
      Donc, (7/15) + (9/15) = (7 + 9)/15 = 16/15.

  2. 5 – (3/8)
      Représentons 5 sous forme de fraction avec le même dénominateur (8) :
        5 = 40/8.
      Donc, 40/8 – 3/8 = (40 – 3)/8 = 37/8.

  3. (5/16) + (7/24)
      Trouvons un dénominateur commun. Le plus petit commun multiple de 16 et 24 est 48.
        5/16 = (5×3)/(16×3) = 15/48,
        7/24 = (7×2)/(24×2) = 14/48.
      Addition : 15/48 + 14/48 = (15 + 14)/48 = 29/48.

  1. Calculs liés aux pourcentages et fractions :

  1. Calculer les trois quarts de 80
      On multiplie 80 par 3/4 :
        80 × (3/4) = (80 × 3) ÷ 4 = 240 ÷ 4 = 60.

  2. Calculer 25 % de 160
      25 % signifie 25/100, c’est-à-dire 1/4.
        160 × (1/4) = 160 ÷ 4 = 40.

  1. Un jardinier a planté les quatre cinquièmes de son jardin en tomates et les deux cinquièmes en carottes. Le reste est planté en laitues.
      La fraction totale utilisée pour tomates et carottes est :     (4/5) + (2/5) = 6/5.   En déduire la fraction plantée en laitues en faisant :     1 – 6/5 = (5/5) – (6/5) = –1/5.   Mais un résultat négatif n’a pas de sens dans ce contexte.
      Cela signifie qu’il y a une incohérence dans l’énoncé puisque la somme des fractions dépasse la totalité du jardin. Dans un cas correct, la somme des parties ne doit pas dépasser 1.

  2. Lucas a utilisé les trois quarts de son crédit internet, ce qui correspond à 9 heures.
      Si (3/4) du crédit = 9 heures, le crédit total se calcule en multipliant par l’inverse de 3/4 :     Crédit total = 9 × (4/3) = 36/3 = 12 heures.

────────────────────────────── V – Comparaison d’expressions

On doit compléter les égalités ou inégalités (en remplaçant le blanc par le signe “=” ou “≠”) en vérifiant si les deux expressions sont égales.

  1. 0,63 – (9/20)
      Calculons 9/20 :     9 ÷ 20 = 0,45.   Ainsi, 0,63 – 0,45 = 0,18.   Si l’on compare cette expression à 0,18 (supposé être l’autre membre), on a :
        0,63 – (9/20) = 0,18.   On écrira donc : “=”.

  2. (2/5) et 0,40
      Calculons 2/5 :     2 ÷ 5 = 0,4.   On obtient 0,40.
      Donc, (2/5) = 0,40.

  3. (1/16) – 0,0625
      On calcule 1/16 :     1 ÷ 16 = 0,0625.   Ainsi, (1/16) – 0,0625 = 0,0625 – 0,0625 = 0.   Si l’on compare chaque terme (en considérant que l’objectif est de vérifier l’égalité entre 1/16 et 0,0625), on a :
        1/16 = 0,0625, donc la différence est nulle.   On écrira donc “=”.

  4. (36/30) – 1,2
      Calculons 36/30 :     36 ÷ 30 = 1,2.   Par conséquent, (36/30) – 1,2 = 1,2 – 1,2 = 0.   On en déduit que 36/30 = 1,2.   On écrira donc “=”.

────────────────────────────── Conclusion

Voici les réponses finales :

I – Vitesse moyenne
 a) 30 km/h
 b) 30 km/h
 c) 0 km/h
 d) 60 km/h

II – Opérations sur les nombres relatifs
 1.a) –15    1.b) 40    1.c) –4
  1.d) –15    1.e) 0    1.f) –162
  1.g) –7    1.h) –188   1.i) –195   1.j) –119
 2. Les paires entières dont le produit est –21 sont, par exemple :
  {1, –21}, {–1, 21}, {3, –7}, {–3, 7}, {7, –3}, {–7, 3}, {21, –1} et {–21, 1}
 3. Oui, par exemple (–2)³ = –8.

III – Écriture décimale et fractionnaire
 1.a) 0,08   1.b) 3,142857…
 2.a) 3/4   2.b) –4/9
 3.a) 3/4   3.b) 3/4   3.c) 7
 4.a) 80    4.b) 42

IV – Opérations sur les fractions et pourcentages
 5.a) 16/15
  5.b) 37/8
  5.c) 29/48
 6.a) 60   6.b) 40
 7. La somme 4/5 + 2/5 = 6/5 > 1, donc il y a une incohérence dans l’énoncé (on aurait normalement 1 – (4/5 + 2/5) = –1/5, ce qui n’a pas de sens dans ce contexte).
 8. 12 heures.

V – Comparaison d’expressions
 a) “=” (puisque 0,63 – (9/20) = 0,18)
 b) “=” (car 2/5 = 0,40)
 c) “=” (car 1/16 = 0,0625)
 d) “=” (car 36/30 = 1,2)

Cette correction détaillée explique pas à pas comment résoudre chaque partie de l’exercice.

En haut

Acceptez-vous que toute votre activité sur le site soit enregistrée à des fins d'amélioration et que des données soient stockées sur votre appareil (cookies) ?


Fermer