Exercice 106

Question : En utilisant chacun des dix nombres suivants une et une seule fois, formez cinq couples dont le produit est égal à 1.

Les nombres :

• \(4\)
• \(-2\)
• \(5\)
• \(-3\)
• \(\dfrac{3}{2}\)
• \(\dfrac{1}{4}\)
• \(-\dfrac{1}{2}\)
• \(\dfrac{1}{5}\)
• \(\dfrac{2}{3}\)
• \(0,\overline{6}\)

Réponse

Il est possible de former quatre paires dont le produit est égal à 1 :

1. \(4 \times \frac{1}{4} = 1\)
2. \(-2 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = 1\)
3. \(5 \times \frac{1}{5} = 1\)
4. \(\frac{3}{2} \times \frac{2}{3} = 1\)

Le nombre \(-3\) ne peut pas être apparié, rendant impossible la formation de cinq paires.

Corrigé détaillé

Pour résoudre ce problème, nous devons former cinq paires de nombres parmi les dix donnés, de telle sorte que le produit de chaque paire soit égal à 1. Chaque nombre doit être utilisé une seule fois. Voici une démarche détaillée pour parvenir à la solution.

Les nombres donnés

Voici la liste des dix nombres disponibles :

• \(4\)
• \(-2\)
• \(5\)
• \(-3\)
• \(\dfrac{3}{2}\)
• \(\dfrac{1}{4}\)
• \(-\dfrac{1}{2}\)
• \(\dfrac{1}{5}\)
• \(\dfrac{2}{3}\)
• \(0,\overline{6}\) (qui est équivalent à \(\dfrac{2}{3}\))

Stratégie de résolution

Pour que le produit de deux nombres soit égal à 1, ces deux nombres doivent être réciproques l’un de l’autre. C’est-à-dire que pour un nombre \(a\), son réciproque est \(\dfrac{1}{a}\).

Cependant, il faut également prendre en compte le signe des nombres : - Deux nombres positifs multipliés ensemble donnent un produit positif. - Deux nombres négatifs multipliés ensemble donnent également un produit positif.

Ainsi, pour obtenir un produit égal à 1, chaque paire doit comporter soit deux nombres positifs réciproques, soit deux nombres négatifs réciproques.

Identification des paires

Analysons chaque nombre pour trouver son réciproque parmi les nombres donnés :

1. \(4\) et \(\dfrac{1}{4}\)
   • Réciproque de \(4\) est \(\dfrac{1}{4}\), qui est présent dans la liste.
   • \(4 \times \dfrac{1}{4} = 1\)
2. \(-2\) et \(-\dfrac{1}{2}\)
   • Réciproque de \(-2\) est \(-\dfrac{1}{2}\), qui est présent dans la liste.
   • \(-2 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = 1\)
3. \(5\) et \(\dfrac{1}{5}\)
   • Réciproque de \(5\) est \(\dfrac{1}{5}\), qui est présent dans la liste.
   • \(5 \times \dfrac{1}{5} = 1\)
4. \(\dfrac{3}{2}\) et \(\dfrac{2}{3}\)
   • Réciproque de \(\dfrac{3}{2}\) est \(\dfrac{2}{3}\), qui est présent dans la liste.
   • \(\dfrac{3}{2} \times \dfrac{2}{3} = 1\)
5. \(-3\) et \(0,\overline{6}\)
   • Réciproque de \(-3\) devrait être \(-\dfrac{1}{3}\).
   • Toutefois, \(-\dfrac{1}{3}\) n’est pas explicitement présent dans la liste.
   • Le nombre \(0,\overline{6}\) est une représentation décimale de \(\dfrac{2}{3}\), qui est positif.
   • Par conséquent, \(-3\) ne peut pas être apparié de manière à ce que le produit soit 1 avec les nombres restants.

Conclusion

Après avoir formé les quatre premières paires avec succès, il reste le nombre \(-3\) sans nombre réciproque approprié dans la liste fournie. Cela signifie que, avec les nombres donnés, il n’est pas possible de former cinq paires où le produit de chaque paire est égal à 1 en utilisant chaque nombre une seule fois.

Paires formées :

1. \(4 \times \dfrac{1}{4} = 1\)
2. \(-2 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = 1\)
3. \(5 \times \dfrac{1}{5} = 1\)
4. \(\dfrac{3}{2} \times \dfrac{2}{3} = 1\)

Le cinquième nombre \(-3\) ne peut pas être apparié pour satisfaire la condition donnée avec les nombres restants.