Exercice 105

Question : À la fin de l’année, une pâtisserie décide de répartir une prime entre ses quatre employés, en fonction de leur ancienneté dans l’entreprise. La prime est répartie ainsi :

• \(\frac{1}{4}\) pour le premier employé ;
• \(\frac{1}{2}\) pour le deuxième ;
• \(\frac{1}{8}\) pour le troisième ;
• 500 euros pour le quatrième.

1. Quelle fraction de la prime le quatrième employé reçoit-il ?

2. Quelle somme totale a été répartie entre les quatre employés ?

Multiplication et division de fractions

Réponse

Réponses :

1. Le quatrième employé reçoit \(\frac{1}{8}\) de la prime totale.

2. La somme totale répartie entre les quatre employés est de 4000 euros.

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

Partie a) Quelle fraction de la prime le quatrième employé reçoit-il ?

Pour déterminer la fraction de la prime totale que reçoit le quatrième employé, suivons les étapes suivantes :

1. Définir la prime totale :

   Soit \(P\) la prime totale à répartir entre les quatre employés.

2. Exprimer les parts des employés en fonction de \(P\) :

   • Premier employé : \(\frac{1}{4}P\)
   • Deuxième employé : \(\frac{1}{2}P\)
   • Troisième employé : \(\frac{1}{8}P\)
   • Quatrième employé : 500 euros

3. Établir l’équation de répartition :

   La somme des parts de tous les employés doit être égale à la prime totale \(P\). Donc,

   \[ \frac{1}{4}P + \frac{1}{2}P + \frac{1}{8}P + 500 = P \]

4. Simplifier l’équation :

   Calculons la somme des fractions :

   \[ \frac{1}{4}P + \frac{1}{2}P + \frac{1}{8}P = \frac{2}{8}P + \frac{4}{8}P + \frac{1}{8}P = \frac{7}{8}P \]

   L’équation devient alors :

   \[ \frac{7}{8}P + 500 = P \]

5. Résoudre l’équation pour \(P\) :

   Isolons \(P\) en soustrayant \(\frac{7}{8}P\) des deux côtés :

   \[ 500 = P - \frac{7}{8}P = \frac{1}{8}P \]

   Donc,

   \[ \frac{1}{8}P = 500 \quad \Rightarrow \quad P = 500 \times 8 = 4000 \ \text{euros} \]

6. Déterminer la fraction reçue par le quatrième employé :

   Le quatrième employé reçoit 500 euros sur une prime totale de 4000 euros. La fraction est donc :

   \[ \frac{500}{4000} = \frac{1}{8} \]

   Réponse : Le quatrième employé reçoit \(\frac{1}{8}\) de la prime totale.

Partie b) Quelle somme totale a été répartie entre les quatre employés ?

À partir de la résolution de la partie a), nous avons déterminé la prime totale \(P\) :

\[ P = 4000 \ \text{euros} \]

Réponse : La somme totale répartie entre les quatre employés est de 4000 euros.