Exercice 104

Question : Calculez :

1. \(A = \left( \dfrac{2}{9} + \dfrac{5}{15} \right) \div \left( \dfrac{3}{4} \cdot 5 + 10 \right) =\)

2. \(B = \dfrac{2}{9} + \dfrac{5}{15} \div \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{5}{15} =\)

3. \(C = \dfrac{ \dfrac{2}{9} - \dfrac{5}{15} }{ \dfrac{6}{7} + \dfrac{3}{20} } =\)

Réponse

Réponses :

1. \(A = \dfrac{4}{99}\)
2. \(B = \dfrac{10}{27}\)
3. \(C = -\dfrac{20}{181}\)

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

1. Calcul de \(A\)

\[ A = \left( \dfrac{2}{9} + \dfrac{5}{15} \right) \div \left( \dfrac{3}{4} \cdot 5 + 10 \right) \]

Étape 1 : Calculer l’expression à l’intérieur de la première parenthèse

\[ \dfrac{2}{9} + \dfrac{5}{15} \]

Pour additionner ces deux fractions, il faut un dénominateur commun. Le plus petit commun multiple (PPCM) de 9 et 15 est 45.

\[ \begin{align*} \dfrac{2}{9} &= \dfrac{2 \times 5}{9 \times 5} = \dfrac{10}{45} \\ \dfrac{5}{15} &= \dfrac{5 \times 3}{15 \times 3} = \dfrac{15}{45} \\ \end{align*} \]

Maintenant, additionnons les fractions :

\[ \dfrac{10}{45} + \dfrac{15}{45} = \dfrac{25}{45} \]

On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur (PGCD), qui est 5 :

\[ \dfrac{25 \div 5}{45 \div 5} = \dfrac{5}{9} \]

Étape 2 : Calculer l’expression à l’intérieur de la deuxième parenthèse

\[ \dfrac{3}{4} \cdot 5 + 10 \]

Multipliions la fraction par le nombre entier :

\[ \dfrac{3}{4} \times 5 = \dfrac{15}{4} \]

Ajoutons ensuite 10 :

\[ \dfrac{15}{4} + 10 = \dfrac{15}{4} + \dfrac{40}{4} = \dfrac{55}{4} \]

Étape 3 : Effectuer la division des deux résultats obtenus

\[ A = \dfrac{5}{9} \div \dfrac{55}{4} \]

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse :

\[ A = \dfrac{5}{9} \times \dfrac{4}{55} = \dfrac{20}{495} \]

Simplifions la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur PGCD, qui est 5 :

\[ \dfrac{20 \div 5}{495 \div 5} = \dfrac{4}{99} \]

Réponse : \(A = \dfrac{4}{99}\)

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2. Calcul de \(B\)

\[ B = \dfrac{2}{9} + \dfrac{5}{15} \div \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{5}{15} \]

Étape 1 : Résoudre l’opération de division

\[ \dfrac{5}{15} \div \dfrac{3}{4} \]

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse :

\[ \dfrac{5}{15} \times \dfrac{4}{3} = \dfrac{20}{45} \]

Simplifions la fraction :

\[ \dfrac{20 \div 5}{45 \div 5} = \dfrac{4}{9} \]

Étape 2 : Multiplier le résultat par \(\dfrac{5}{15}\)

\[ \dfrac{4}{9} \times \dfrac{5}{15} = \dfrac{20}{135} \]

Simplifions la fraction en divisant par 5 :

\[ \dfrac{20 \div 5}{135 \div 5} = \dfrac{4}{27} \]

Étape 3 : Additionner le résultat à \(\dfrac{2}{9}\)

\[ \dfrac{2}{9} + \dfrac{4}{27} \]

Trouvons un dénominateur commun, qui est 27 :

\[ \dfrac{2}{9} = \dfrac{6}{27} \]

Ainsi :

\[ \dfrac{6}{27} + \dfrac{4}{27} = \dfrac{10}{27} \]

Réponse : \(B = \dfrac{10}{27}\)

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3. Calcul de \(C\)

\[ C = \dfrac{ \dfrac{2}{9} - \dfrac{5}{15} }{ \dfrac{6}{7} + \dfrac{3}{20} } \]

Étape 1 : Calculer le numérateur \(\dfrac{2}{9} - \dfrac{5}{15}\)

Pour soustraire ces deux fractions, trouvons un dénominateur commun. Le PPCM de 9 et 15 est 45.

\[ \begin{align*} \dfrac{2}{9} &= \dfrac{2 \times 5}{9 \times 5} = \dfrac{10}{45} \\ \dfrac{5}{15} &= \dfrac{5 \times 3}{15 \times 3} = \dfrac{15}{45} \\ \end{align*} \]

Effectuons la soustraction :

\[ \dfrac{10}{45} - \dfrac{15}{45} = \dfrac{-5}{45} = -\dfrac{1}{9} \]

Étape 2 : Calculer le dénominateur \(\dfrac{6}{7} + \dfrac{3}{20}\)

Trouvons un dénominateur commun. Le PPCM de 7 et 20 est 140.

\[ \begin{align*} \dfrac{6}{7} &= \dfrac{6 \times 20}{7 \times 20} = \dfrac{120}{140} \\ \dfrac{3}{20} &= \dfrac{3 \times 7}{20 \times 7} = \dfrac{21}{140} \\ \end{align*} \]

Effectuons l’addition :

\[ \dfrac{120}{140} + \dfrac{21}{140} = \dfrac{141}{140} \]

Étape 3 : Diviser le numérateur par le dénominateur

\[ C = \dfrac{ -\dfrac{1}{9} }{ \dfrac{141}{140} } \]

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse :

\[ C = -\dfrac{1}{9} \times \dfrac{140}{141} = -\dfrac{140}{1269} \]

Simplifions la fraction en trouvant le PGCD de 140 et 1269, qui est 7 :

\[ \dfrac{140 \div 7}{1269 \div 7} = \dfrac{20}{181} \]

Ainsi :

\[ C = -\dfrac{20}{181} \]

Réponse : \(C = -\dfrac{20}{181}\)