Exercice 101

Nouveau Exercice

a. Parmi ces nombres, entoure en rouge les nombres décimaux et barre en bleu les nombres rationnels (quotient de deux entiers relatifs).

\(\dfrac{3}{-6}\)	\(0{,}4\)	\(-\dfrac{7}{14}\)	\(\sqrt{5}\)	\(8\)
\(\dfrac{-1{,}5}{2}\)	\(\dfrac{2}{3}\)	\(\dfrac{4{,}0}{20}\)	\(2^{-4}\)	3

b. Que remarques-tu ? Explique.

Réponse

La plupart des nombres sont rationnels car ils peuvent s’exprimer sous forme de fractions. Certains sont également décimaux, tels que 0,4, -1,5⁄2 et 4,0⁄20. Le nombre √5 n’est ni décimal ni rationnel.

Corrigé détaillé

Correction Complète

a. Identifier les nombres décimaux et les nombres rationnels

Pour résoudre cet exercice, nous devons d’abord comprendre la différence entre un nombre décimal et un nombre rationnel.

• Nombre décimal : Un nombre qui s’écrit avec une virgule, par exemple \(0{,}4\) ou \(-1{,}5\).
• Nombre rationnel : Un nombre qui peut s’écrire comme le quotient de deux entiers relatifs, c’est-à-dire sous la forme \(\dfrac{a}{b}\) avec \(a\) et \(b\) entiers et \(b \neq 0\).

Nous allons examiner chaque nombre de la table et les classer en conséquence.

Nombre	Décimal ?	Rationnel ?
\(\dfrac{3}{-6}\)	Non	Oui
\(0{,}4\)	Oui	Oui
\(-\dfrac{7}{14}\)	Non	Oui
\(\sqrt{5}\)	Non	Non
\(8\)	Non	Oui
\(\dfrac{-1{,}5}{2}\)	Oui	Oui
\(\dfrac{2}{3}\)	Non	Oui
\(\dfrac{4{,}0}{20}\)	Oui	Oui
\(2^{-4}\)	Non	Oui
\(3\)	Non	Oui

Explications :

1. \(\dfrac{3}{-6}\) :
   • C’est une fraction, elle est donc rationnelle.
   • Elle n’est pas décimale car elle ne comporte pas de virgule.
   • Action : Barrez en bleu.
2. \(0{,}4\) :
   • C’est un nombre avec une virgule, donc décimal.
   • Il peut également s’écrire comme \(\dfrac{4}{10}\), donc rationnel.
   • Action : Entourez en rouge et barrez en bleu.
3. \(-\dfrac{7}{14}\) :
   • C’est une fraction, donc rationnelle.
   • Elle n’est pas décimale.
   • Action : Barrez en bleu.
4. \(\sqrt{5}\) :
   • C’est une racine carrée, un nombre irrationnel.
   • Elle n’est ni décimale ni rationnelle.
   • Action : Aucune action.
5. \(8\) :
   • C’est un entier, qui peut s’écrire comme \(\dfrac{8}{1}\), donc rationnel.
   • Il n’est pas décimal.
   • Action : Barrez en bleu.
6. \(\dfrac{-1{,}5}{2}\) :
   • Le numérateur \(-1{,}5\) est un nombre décimal.
   • Cette expression est donc décimale.
   • Comme c’est le quotient de deux nombres (dont un décimal peut être écrit comme une fraction), c’est aussi rationnel.
   • Action : Entourez en rouge et barrez en bleu.
7. \(\dfrac{2}{3}\) :
   • C’est une fraction, donc rationnelle.
   • Elle n’est pas décimale.
   • Action : Barrez en bleu.
8. \(\dfrac{4{,}0}{20}\) :
   • Le numérateur \(4{,}0\) est un nombre décimal.
   • Cette expression est donc décimale.
   • Elle est aussi rationnelle car elle peut être simplifiée en une fraction de deux entiers.
   • Action : Entourez en rouge et barrez en bleu.
9. \(2^{-4}\) :
   • C’est une expression exponentielle équivalente à \(\dfrac{1}{16}\), qui est une fraction.
   • C’est donc rationnel.
   • Elle n’est pas décimale.
   • Action : Barrez en bleu.
10. \(3\) :
    • C’est un entier, qui peut s’écrire comme \(\dfrac{3}{1}\), donc rationnel.
    • Il n’est pas décimal.
    • Action : Barrez en bleu.

Tableau Final :

Nombre	Action
\(\dfrac{3}{-6}\)	\(\dfrac{3}{-6}\) (barre en bleu)
\(0{,}4\)	et \(0{,}4\)
\(-\dfrac{7}{14}\)	\(-\dfrac{7}{14}\)
\(\sqrt{5}\)	Aucun
\(8\)	\(8\)
\(\dfrac{-1{,}5}{2}\)	et \(\dfrac{-1{,}5}{2}\)
\(\dfrac{2}{3}\)	\(\dfrac{2}{3}\)
\(\dfrac{4{,}0}{20}\)	et \(\dfrac{4{,}0}{20}\)
\(2^{-4}\)	\(2^{-4}\)
\(3\)	\(3\)

b. Observation et Explication

Après avoir entouré les nombres décimaux en rouge et barré les nombres rationnels en bleu, nous pouvons faire les observations suivantes :

1. Tous les nombres barrés en bleu sont des nombres rationnels :
   • En effet, chaque nombre barré peut s’écrire comme le quotient de deux entiers relatifs.
2. Certains nombres sont à la fois décimaux et rationnels :
   • Par exemple, \(0{,}4\), \(\dfrac{-1{,}5}{2}\) et \(\dfrac{4{,}0}{20}\) sont à la fois entourés en rouge et barrés en bleu, ce qui montre qu’ils sont des nombres décimaux et rationnels.
3. Il existe des nombres qui ne sont ni décimaux ni rationnels :
   • Comme \(\sqrt{5}\), qui n’est ni entouré ni barré, ce qui indique qu’il ne répond à aucun des deux critères.

Conclusion :

La plupart des nombres de la liste sont rationnels, car ils peuvent être exprimés comme des fractions. Cependant, seulement certains d’entre eux sont des nombres décimaux, c’est-à-dire qu’ils contiennent une virgule. De plus, certains nombres peuvent appartenir aux deux catégories simultanément.