Question: Rends la fraction \(\frac{189}{252}\) irréductible.
189/252 se réduit en 3/4 après division par le PGCD, qui est 63.
Pour rendre la fraction 189/252 irréductible, nous devons chercher le plus grand diviseur commun (PGCD) du numérateur et du dénominateur, et ensuite diviser ces deux nombres par ce diviseur.
Étape 1 : Factorisation de 189
• 189 peut s’écrire en multipliant ses facteurs premiers.
• On peut vérifier que 189 = 3 × 63, et comme 63 = 3 × 21 puis 21 = 3 ×
7, on a donc :
189 = 3 × 3 × 3 × 7 = 3³ × 7.
Étape 2 : Factorisation de 252
• Pour 252, on cherche des facteurs :
252 = 2 × 126,
126 = 2 × 63,
et comme 63 = 3 × 21 et 21 = 3 × 7, alors :
252 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7 = 2² × 3² × 7.
Étape 3 : Détermination du plus grand diviseur commun (PGCD)
• Les facteurs communs à 189 (3³ × 7) et 252 (2² × 3² × 7) sont 3 et
7.
• Pour le nombre 3, on retient l’exposant le plus petit, soit 3².
• Pour le nombre 7, leur exposant est 1 dans les deux cas.
• Ainsi, le PGCD est :
PGCD = 3² × 7 = 9 × 7 = 63.
Étape 4 : Réduire la fraction en divisant le numérateur et le
dénominateur par le PGCD
• Numérateur : 189 ÷ 63 = 3
• Dénominateur : 252 ÷ 63 = 4
Conclusion :
En divisant le numérateur et le dénominateur par 63, nous obtenons la
fraction irréductible :
189/252 = 3/4
La fraction irréductible de 189/252 est donc 3/4.