Exercice 99

1. \[ \frac{4w^{4} - z}{4} - \frac{3z + w^{4}}{8} \]

2. \[ \frac{5a^{2} - 2b}{3} - \frac{3a^{2} + b}{4} \]

3. \[ \frac{4a^{3} - 5c}{5} + \frac{2a^{3} - 3c}{10} \]

4. \[ 4a - b + \frac{3a - 2b}{7} \]

5. \[ \frac{2a + 3b}{3} - \frac{4a - b}{6} \]

6. \[ \frac{x^{4} - y^{4}}{5} - \frac{2x^{4} + 12y^{4}}{15} \]

Réponse

Exercice 1 : (7w⁴ – 5z)/8
Exercice 2 : 11(a² – b)/12
Exercice 3 : (10a³ – 13c)/10
Exercice 4 : (31a – 9b)/7
Exercice 5 : 7b/6
Exercice 6 : (x⁴ – 15y⁴)/15

Corrigé détaillé

Nous allons simplifier chacune des expressions en détaillant chaque étape.

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Exercice 1
Expression :
  (4w⁴ – z)/4 – (3z + w⁴)/8

1. Pour soustraire deux fractions, il faut qu’elles aient le même dénominateur. Ici, les dénominateurs sont 4 et 8. Le plus petit commun multiple est 8.
2. On transforme la première fraction en multipliant son numérateur et son dénominateur par 2 :
     (4w⁴ – z)/4 = [2(4w⁴ – z)]/8 = (8w⁴ – 2z)/8.
3. Maintenant, l’expression devient :
     (8w⁴ – 2z)/8 – (3z + w⁴)/8.
4. Comme les dénominateurs sont les mêmes, on soustrait directement les numérateurs :
     8w⁴ – 2z – (3z + w⁴) = 8w⁴ – 2z – 3z – w⁴ = (8w⁴ – w⁴) – (2z + 3z) = 7w⁴ – 5z.
5. La fraction simplifiée est :
     (7w⁴ – 5z)/8.

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Exercice 2
Expression :
  (5a² – 2b)/3 – (3a² + b)/4

1. Le but est d’obtenir un dénominateur commun. Ici, les dénominateurs 3 et 4 ont pour plus petit commun multiple 12.
2. On transforme chaque fraction pour avoir le dénominateur 12 :
     (5a² – 2b)/3 = [4(5a² – 2b)]/12 = (20a² – 8b)/12,
     (3a² + b)/4 = [3(3a² + b)]/12 = (9a² + 3b)/12.
3. L’expression devient :
     (20a² – 8b)/12 – (9a² + 3b)/12.
4. En soustrayant les numérateurs :
     20a² – 8b – 9a² – 3b = (20a² – 9a²) + (–8b – 3b) = 11a² – 11b.
5. On peut factoriser 11 dans le numérateur :
     11(a² – b).
6. La fraction finale est :
     [11(a² – b)]/12.

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Exercice 3
Expression :
  (4a³ – 5c)/5 + (2a³ – 3c)/10

1. Pour additionner ces fractions, choisissons un dénominateur commun. Ici, le plus petit commun multiple de 5 et 10 est 10.
2. Transformons la première fraction :
     (4a³ – 5c)/5 = [2(4a³ – 5c)]/10 = (8a³ – 10c)/10.
3. L’expression devient :
     (8a³ – 10c)/10 + (2a³ – 3c)/10.
4. Additionnons les numérateurs :
     8a³ – 10c + 2a³ – 3c = (8a³ + 2a³) + (–10c – 3c) = 10a³ – 13c.
5. La fraction simplifiée est :
     (10a³ – 13c)/10.

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Exercice 4
Expression :
  4a – b + (3a – 2b)/7

1. La première partie (4a – b) peut être écrite sous forme de fraction en lui donnant le même dénominateur que le second terme (7).
     4a – b = [7(4a – b)]/7 = (28a – 7b)/7.
2. L’expression devient :
     (28a – 7b)/7 + (3a – 2b)/7.
3. Additionnons les numérateurs :
     28a – 7b + 3a – 2b = (28a + 3a) + (–7b – 2b) = 31a – 9b.
4. La fraction finale est :
     (31a – 9b)/7.

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Exercice 5
Expression :
  (2a + 3b)/3 – (4a – b)/6

1. Le plus petit commun multiple des dénominateurs 3 et 6 est 6.
   
2. On transforme la première fraction :
     (2a + 3b)/3 = [2(2a + 3b)]/6 = (4a + 6b)/6.
3. L’expression devient :
     (4a + 6b)/6 – (4a – b)/6.
4. Soustrayons les numérateurs :
     4a + 6b – 4a + b = (4a – 4a) + (6b + b) = 7b.
5. La fraction simplifiée est :
     7b/6.

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Exercice 6
Expression :
  (x⁴ – y⁴)/5 – (2x⁴ + 12y⁴)/15

1. Afin d’effectuer la soustraction, on trouve un dénominateur commun. Les dénominateurs 5 et 15 ont pour plus petit commun multiple 15.
2. Transformons la première fraction :
     (x⁴ – y⁴)/5 = [3(x⁴ – y⁴)]/15 = (3x⁴ – 3y⁴)/15.
3. L’expression devient :
     (3x⁴ – 3y⁴)/15 – (2x⁴ + 12y⁴)/15.
4. Soustrayons les numérateurs :
     3x⁴ – 3y⁴ – 2x⁴ – 12y⁴ = (3x⁴ – 2x⁴) + (–3y⁴ – 12y⁴) = x⁴ – 15y⁴.
5. La fraction finale simplifiée est :
     (x⁴ – 15y⁴)/15.

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Résumé des résultats
1. (7w⁴ – 5z)/8
2. [11(a² – b)]/12
3. (10a³ – 13c)/10
4. (31a – 9b)/7
5. 7b/6
6. (x⁴ – 15y⁴)/15

Chaque étape a permis de mettre les fractions sur un dénominateur commun, de combiner les numérateurs et de simplifier l’expression obtenue. Ces méthodes sont importantes pour travailler de manière organisée en algèbre.