Effectuer les opérations suivantes et simplifier le résultat si nécessaire :
\(\frac{x-1}{x+3} - \frac{x-3}{x+1}\)
\(\frac{1-4x}{1+4x} + \frac{1+4x}{4x-1}\)
\(\frac{2x-1}{2x-4} - \frac{2x+1}{2x+3}\)
\(\frac{x}{x^{2}-25} - \frac{1}{2x+10}\)
\(\frac{x-3}{4x^{2}-1} + \frac{3x}{4x^{2}+2x} + \frac{x+2}{8x^{3}-2x}\)
\(\frac{2x}{2x-3} - \frac{2x-3}{2x} - \frac{9}{4x^{2}-6x}\)
Voici les réponses des exercices :
\(\boxed{\dfrac{8}{(x + 3)(x + 1)}}\)
\(\boxed{\dfrac{16x}{(4x - 1)(1 + 4x)}}\)
\(\boxed{\dfrac{10x + 1}{2(x - 2)(2x + 3)}}\)
\(\boxed{\dfrac{1}{2(x - 5)}}\)
\(\boxed{\dfrac{2x - 1}{x(2x + 1)}}\)
\(\boxed{\dfrac{3}{x}}\)
Question : \[ \frac{x-1}{x+3} - \frac{x-3}{x+1} \]
Solution :
Trouver le dénominateur commun :
Les dénominateurs sont \(x + 3\) et \(x + 1\). Le dénominateur commun est le produit de ces deux expressions : \[ (x + 3)(x + 1) \]
Réécrire chaque fraction avec le dénominateur commun :
\[ \frac{x - 1}{x + 3} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{(x + 3)(x + 1)} \]
\[ \frac{x - 3}{x + 1} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{(x + 1)(x + 3)} \]
Effectuer la soustraction des deux fractions :
\[ \frac{(x - 1)(x + 1) - (x - 3)(x + 3)}{(x + 3)(x + 1)} \]
Développer les expressions au numérateur :
\[ (x - 1)(x + 1) = x^2 - 1 \]
\[ (x - 3)(x + 3) = x^2 - 9 \]
Donc, le numérateur devient :
\[ (x^2 - 1) - (x^2 - 9) = x^2 - 1 - x^2 + 9 = 8 \]
Simplifier l’expression finale :
\[ \frac{8}{(x + 3)(x + 1)} \]
Ainsi, le résultat simplifié est :
\[ \boxed{\dfrac{8}{(x + 3)(x + 1)}} \]
Question : \[ \frac{1 - 4x}{1 + 4x} + \frac{1 + 4x}{4x - 1} \]
Solution :
Réécriture des expressions :
Observons que \(4x - 1 = -(1 - 4x)\). Cela nous permettra de simplifier l’expression.
Simplifier la deuxième fraction :
\[ \frac{1 + 4x}{4x - 1} = \frac{1 + 4x}{-(1 - 4x)} = -\frac{1 + 4x}{1 - 4x} \]
Exprimer les deux fractions avec le même dénominateur :
Le dénominateur commun est \(1 - 4x\).
\[ \frac{1 - 4x}{1 + 4x} - \frac{1 + 4x}{1 - 4x} \]
Pour la première fraction, multiplions le numérateur et le dénominateur par \(1 - 4x\) :
\[ \frac{(1 - 4x)(1 - 4x)}{(1 + 4x)(1 - 4x)} = \frac{(1 - 4x)^2}{1 - (4x)^2} \]
Simplifier le dénominateur :
\[ 1 - (4x)^2 = 1 - 16x^2 \]
Regrouper les termes :
\[ \frac{1 - 8x + 16x^2}{1 - 16x^2} - \frac{1 + 4x}{1 - 4x} \]
Cette étape peut être complexe pour un élève de collège. Une approche plus simple consiste à simplifier directement l’expression initiale en reconnaissant que les termes se simplifient.
Simplification directe :
En additionnant les deux fractions :
\[ \frac{1 - 4x}{1 + 4x} + \frac{1 + 4x}{4x - 1} = \frac{1 - 4x}{1 + 4x} - \frac{1 + 4x}{1 - 4x} \]
En utilisant un dénominateur commun de \((1 + 4x)(1 - 4x)\) :
\[ \frac{(1 - 4x)^2 - (1 + 4x)^2}{(1 + 4x)(1 - 4x)} \]
Développons le numérateur :
\[ (1 - 4x)^2 - (1 + 4x)^2 = [1 - 8x + 16x^2] - [1 + 8x + 16x^2] = -16x \]
Donc, l’expression devient :
\[ \frac{-16x}{1 - 16x^2} \]
On peut factoriser le dénominateur :
\[ 1 - 16x^2 = (1 - 4x)(1 + 4x) \]
Finalement :
\[ \boxed{\dfrac{-16x}{(1 - 4x)(1 + 4x)}} \]
Ou en simplifiant le signe :
\[ \boxed{\dfrac{16x}{(4x - 1)(1 + 4x)}} \]
Question : \[ \frac{2x - 1}{2x - 4} - \frac{2x + 1}{2x + 3} \]
Solution :
Factoriser les dénominateurs si possible :
\[ 2x - 4 = 2(x - 2) \]
Trouver le dénominateur commun :
Les dénominateurs sont \(2(x - 2)\) et \(2x + 3\). Le dénominateur commun est \(2(x - 2)(2x + 3)\).
Réécrire chaque fraction avec le dénominateur commun :
\[ \frac{2x - 1}{2(x - 2)} = \frac{(2x - 1)(2x + 3)}{2(x - 2)(2x + 3)} \]
\[ \frac{2x + 1}{2x + 3} = \frac{(2x + 1)2(x - 2)}{2(x - 2)(2x + 3)} \]
Effectuer la soustraction des deux fractions :
\[ \frac{(2x - 1)(2x + 3) - 2(x - 2)(2x + 1)}{2(x - 2)(2x + 3)} \]
Développer le numérateur :
Développons chaque terme :
\[ (2x - 1)(2x + 3) = 4x^2 + 6x - 2x - 3 = 4x^2 + 4x - 3 \]
\[ 2(x - 2)(2x + 1) = 2(2x^2 + x - 4x - 2) = 2(2x^2 - 3x - 2) = 4x^2 - 6x - 4 \]
Donc, le numérateur devient :
\[ (4x^2 + 4x - 3) - (4x^2 - 6x - 4) = 4x^2 + 4x - 3 - 4x^2 + 6x + 4 = 10x + 1 \]
Écrire l’expression simplifiée :
\[ \frac{10x + 1}{2(x - 2)(2x + 3)} \]
Ainsi, la réponse est :
\[ \boxed{\dfrac{10x + 1}{2(x - 2)(2x + 3)}} \]
Question : \[ \frac{x}{x^{2} - 25} - \frac{1}{2x + 10} \]
Solution :
Factoriser les dénominateurs :
\[ x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5) \]
\[ 2x + 10 = 2(x + 5) \]
Trouver le dénominateur commun :
Les dénominateurs sont \((x - 5)(x + 5)\) et \(2(x + 5)\). Le dénominateur commun est \(2(x - 5)(x + 5)\).
Réécrire chaque fraction avec le dénominateur commun :
\[ \frac{x}{(x - 5)(x + 5)} = \frac{2x}{2(x - 5)(x + 5)} \]
\[ \frac{1}{2(x + 5)} = \frac{(x - 5)}{2(x - 5)(x + 5)} \]
Effectuer la soustraction des deux fractions :
\[ \frac{2x}{2(x - 5)(x + 5)} - \frac{x - 5}{2(x - 5)(x + 5)} = \frac{2x - (x - 5)}{2(x - 5)(x + 5)} \]
Simplifier le numérateur :
\[ 2x - x + 5 = x + 5 \]
Exprimer l’expression simplifiée :
\[ \frac{x + 5}{2(x - 5)(x + 5)} = \frac{1}{2(x - 5)} \]
Ainsi, la réponse est :
\[ \boxed{\dfrac{1}{2(x - 5)}} \]
Question : \[ \frac{x - 3}{4x^{2} - 1} + \frac{3x}{4x^{2} + 2x} + \frac{x + 2}{8x^{3} - 2x} \]
Solution :
Factoriser les dénominateurs :
\[ 4x^2 - 1 = (2x - 1)(2x + 1) \]
\[ 4x^2 + 2x = 2x(2x + 1) \]
\[ 8x^3 - 2x = 2x(4x^2 - 1) = 2x(2x - 1)(2x + 1) \]
Déterminer le dénominateur commun :
Les dénominateurs factorisés sont :
Le dénominateur commun est \(2x(2x - 1)(2x + 1)\).
Réécrire chaque fraction avec le dénominateur commun :
\[ \frac{x - 3}{(2x - 1)(2x + 1)} = \frac{2x(x - 3)}{2x(2x - 1)(2x + 1)} \]
\[ \frac{3x}{2x(2x + 1)} = \frac{3x(2x - 1)}{2x(2x - 1)(2x + 1)} \]
\[ \frac{x + 2}{2x(2x - 1)(2x + 1)} \quad (\text{déjà avec le dénominateur commun}) \]
Additionner les fractions :
\[ \frac{2x(x - 3) + 3x(2x - 1) + (x + 2)}{2x(2x - 1)(2x + 1)} \]
Développer le numérateur :
\[ 2x(x - 3) = 2x^2 - 6x \]
\[ 3x(2x - 1) = 6x^2 - 3x \]
\[ x + 2 = x + 2 \]
En additionnant :
\[ 2x^2 - 6x + 6x^2 - 3x + x + 2 = 8x^2 - 8x + 2 \]
Factoriser le numérateur si possible :
\[ 8x^2 - 8x + 2 = 2(4x^2 - 4x + 1) = 2(2x - 1)^2 \]
Simplifier l’expression finale :
\[ \frac{2(2x - 1)^2}{2x(2x - 1)(2x + 1)} = \frac{(2x - 1)}{x(2x + 1)} \]
Ainsi, la réponse simplifiée est :
\[ \boxed{\dfrac{2x - 1}{x(2x + 1)}} \]
Question : \[ \frac{2x}{2x - 3} - \frac{2x - 3}{2x} - \frac{9}{4x^{2} - 6x} \]
Solution :
Factoriser les dénominateurs :
\[ 4x^2 - 6x = 2x(2x - 3) \]
Trouver le dénominateur commun :
Les dénominateurs sont \(2x - 3\), \(2x\), et \(2x(2x - 3)\). Le dénominateur commun est \(2x(2x - 3)\).
Réécrire chaque fraction avec le dénominateur commun :
\[ \frac{2x}{2x - 3} = \frac{2x \cdot 2x}{2x(2x - 3)} = \frac{4x^2}{2x(2x - 3)} \]
\[ \frac{2x - 3}{2x} = \frac{(2x - 3)(2x - 3)}{2x(2x - 3)} = \frac{(2x - 3)^2}{2x(2x - 3)} \]
\[ \frac{9}{2x(2x - 3)} \quad (\text{déjà avec le dénominateur commun}) \]
Effectuer les opérations :
\[ \frac{4x^2}{2x(2x - 3)} - \frac{(2x - 3)^2}{2x(2x - 3)} - \frac{9}{2x(2x - 3)} = \frac{4x^2 - (2x - 3)^2 - 9}{2x(2x - 3)} \]
Développer le numérateur :
\[ (2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9 \]
Donc :
\[ 4x^2 - (4x^2 - 12x + 9) - 9 = 4x^2 - 4x^2 + 12x - 9 - 9 = 12x - 18 \]
Factoriser le numérateur :
\[ 12x - 18 = 6(2x - 3) \]
Simplifier l’expression finale :
\[ \frac{6(2x - 3)}{2x(2x - 3)} = \frac{6}{2x} = \frac{3}{x} \]
Ainsi, la réponse simplifiée est :
\[ \boxed{\dfrac{3}{x}} \]