Effectuez les opérations suivantes et simplifiez le résultat si nécessaire :
\(\frac{2a}{x^{2} - 3x + 2} + \frac{a}{x^{2} - 1}\)
\(\frac{4xy}{4x^{2} - y^{2}} + \frac{2x}{2x + y}\)
\(\frac{3}{2x - 1} + \frac{8x}{4x^{2} - 1} - \frac{2}{2x + 1}\)
\(\frac{4a}{a^{2} - 1} - \frac{2}{1 - a} - \frac{2}{a + 1}\)
\(\frac{y}{3x - y} + \frac{3x}{y + 3x} - \frac{6xy}{9x^{2} - y^{2}}\)
\(\frac{1}{(x - 2)^{2}} - \frac{16}{(x^{2} - 4)^{2}} + \frac{1}{(x + 2)^{2}}\)
Voici les réponses finales des exercices :
Exercice 1 : \[ \frac{3ax}{x^{3} - 2x^{2} - x + 2} \]
Exercice 2 : \[ \frac{2x}{2x - y} \]
Exercice 3 : \[ \frac{5}{2x - 1} \]
Exercice 4 : \[ 0 \]
Exercice 5 : \[ \frac{3x - y}{3x + y} \]
Exercice 6 : \[ \frac{2}{x^{2} - 4} \]
Question : \[ \frac{2a}{x^{2} - 3x + 2} + \frac{a}{x^{2} - 1} \]
Correction :
Factoriser les dénominateurs :
Ainsi, l’expression devient : \[ \frac{2a}{(x - 1)(x - 2)} + \frac{a}{(x - 1)(x + 1)} \]
Trouver le dénominateur commun :
Le dénominateur commun est le produit des dénominateurs factorisés : \[ (x - 1)(x - 2)(x + 1) \]
Réécrire chaque fraction avec le dénominateur commun :
Pour la première fraction : \[ \frac{2a}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{2a \cdot (x + 1)}{(x - 1)(x - 2)(x + 1)} \]
Pour la deuxième fraction : \[ \frac{a}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{a \cdot (x - 2)}{(x - 1)(x - 2)(x + 1)} \]
Additionner les fractions : \[ \frac{2a(x + 1) + a(x - 2)}{(x - 1)(x - 2)(x + 1)} \]
Simplifier le numérateur : \[ 2a(x + 1) + a(x - 2) = 2ax + 2a + ax - 2a = (2ax + ax) + (2a - 2a) = 3ax \]
Résultat final : \[ \frac{3ax}{(x - 1)(x - 2)(x + 1)} = \frac{3ax}{x^{3} - 2x^{2} - x + 2} \]
Question : \[ \frac{4xy}{4x^{2} - y^{2}} + \frac{2x}{2x + y} \]
Correction :
Factoriser le dénominateur :
L’expression devient : \[ \frac{4xy}{(2x - y)(2x + y)} + \frac{2x}{2x + y} \]
Trouver le dénominateur commun :
Le dénominateur commun est \((2x - y)(2x + y)\).
Réécrire la deuxième fraction avec le dénominateur commun : \[ \frac{2x}{2x + y} = \frac{2x \cdot (2x - y)}{(2x - y)(2x + y)} \]
Additionner les fractions : \[ \frac{4xy + 2x(2x - y)}{(2x - y)(2x + y)} \]
Simplifier le numérateur : \[ 4xy + 4x^{2} - 2xy = 4x^{2} + 2xy \] \[ = 2x(2x + y) \]
Simplifier l’expression : \[ \frac{2x(2x + y)}{(2x - y)(2x + y)} = \frac{2x}{2x - y} \]
Question : \[ \frac{3}{2x - 1} + \frac{8x}{4x^{2} - 1} - \frac{2}{2x + 1} \]
Correction :
Factoriser les dénominateurs :
L’expression devient : \[ \frac{3}{2x - 1} + \frac{8x}{(2x - 1)(2x + 1)} - \frac{2}{2x + 1} \]
Trouver le dénominateur commun :
Le dénominateur commun est \((2x - 1)(2x + 1)\).
Réécrire chaque fraction avec le dénominateur commun :
Première fraction : \[ \frac{3}{2x - 1} = \frac{3(2x + 1)}{(2x - 1)(2x + 1)} \]
Troisième fraction : \[ \frac{2}{2x + 1} = \frac{2(2x - 1)}{(2x - 1)(2x + 1)} \]
Additionner et soustraire les fractions : \[ \frac{3(2x + 1) + 8x - 2(2x - 1)}{(2x - 1)(2x + 1)} \]
Simplifier le numérateur : \[ 6x + 3 + 8x - 4x + 2 = (6x + 8x - 4x) + (3 + 2) = 10x + 5 \] \[ = 5(2x + 1) \]
Simplifier l’expression : \[ \frac{5(2x + 1)}{(2x - 1)(2x + 1)} = \frac{5}{2x - 1} \]
Question : \[ \frac{4a}{a^{2} - 1} - \frac{2}{1 - a} - \frac{2}{a + 1} \]
Correction :
Factoriser le dénominateur :
L’expression devient : \[ \frac{4a}{(a - 1)(a + 1)} - \frac{2}{1 - a} - \frac{2}{a + 1} \]
Réécrire \(\frac{2}{1 - a}\) en termes de \(a - 1\) : \[ \frac{2}{1 - a} = \frac{-2}{a - 1} \]
Trouver le dénominateur commun :
Le dénominateur commun est \((a - 1)(a + 1)\).
Réécrire toutes les fractions avec le dénominateur commun :
Première fraction reste : \[ \frac{4a}{(a - 1)(a + 1)} \]
Deuxième fraction : \[ \frac{-2}{a - 1} = \frac{-2(a + 1)}{(a - 1)(a + 1)} \]
Troisième fraction : \[ \frac{-2}{a + 1} = \frac{-2(a - 1)}{(a - 1)(a + 1)} \]
Additionner les fractions : \[ \frac{4a - 2(a + 1) - 2(a - 1)}{(a - 1)(a + 1)} \]
Simplifier le numérateur : \[ 4a - 2a - 2 - 2a + 2 = (4a - 2a - 2a) + (-2 + 2) = 0a + 0 = 0 \]
Résultat final : \[ 0 \]
Question : \[ \frac{y}{3x - y} + \frac{3x}{y + 3x} - \frac{6xy}{9x^{2} - y^{2}} \]
Correction :
Observer les dénominators :
Réécrire les fractions : \[ \frac{y}{3x - y} + \frac{3x}{3x + y} - \frac{6xy}{(3x - y)(3x + y)} \]
Trouver le dénominateur commun :
Le dénominateur commun est \((3x - y)(3x + y)\).
Réécrire toutes les fractions avec le dénominateur commun :
Première fraction : \[ \frac{y}{3x - y} = \frac{y(3x + y)}{(3x - y)(3x + y)} \]
Deuxième fraction : \[ \frac{3x}{3x + y} = \frac{3x(3x - y)}{(3x - y)(3x + y)} \]
Troisième fraction reste : \[ \frac{6xy}{(3x - y)(3x + y)} \]
Additionner les fractions : \[ \frac{y(3x + y) + 3x(3x - y) - 6xy}{(3x - y)(3x + y)} \]
Simplifier le numérateur : \[ 3xy + y^{2} + 9x^{2} - 3xy - 6xy = 9x^{2} - 6xy + y^{2} \]
Reconnaître que le numérateur est \((3x - y)^2\) : \[ 9x^{2} - 6xy + y^{2} = (3x - y)^2 \]
Simplifier l’expression : \[ \frac{(3x - y)^2}{(3x - y)(3x + y)} = \frac{3x - y}{3x + y} \]
Question : \[ \frac{1}{(x - 2)^{2}} - \frac{16}{(x^{2} - 4)^{2}} + \frac{1}{(x + 2)^{2}} \]
Correction :
Factoriser les dénominateurs :
L’expression devient : \[ \frac{1}{(x - 2)^{2}} - \frac{16}{(x - 2)^{2}(x + 2)^{2}} + \frac{1}{(x + 2)^{2}} \]
Trouver le dénominateur commun :
Le dénominateur commun est \((x - 2)^2(x + 2)^2\).
Réécrire chaque fraction avec le dénominateur commun :
Première fraction : \[ \frac{1}{(x - 2)^2} = \frac{(x + 2)^2}{(x - 2)^2(x + 2)^2} \]
Deuxième fraction reste : \[ \frac{-16}{(x - 2)^2(x + 2)^2} \]
Troisième fraction : \[ \frac{1}{(x + 2)^2} = \frac{(x - 2)^2}{(x - 2)^2(x + 2)^2} \]
Additionner les fractions : \[ \frac{(x + 2)^2 - 16 + (x - 2)^2}{(x - 2)^2(x + 2)^2} \]
Développer les termes au numérateur : \[ (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4 \] \[ (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4 \]
Donc : \[ x^2 + 4x + 4 - 16 + x^2 - 4x + 4 = 2x^2 - 8 \]
Factoriser le numérateur : \[ 2x^2 - 8 = 2(x^2 - 4) = 2(x - 2)(x + 2) \]
Simplifier l’expression : \[ \frac{2(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)^2(x + 2)^2} = \frac{2}{(x - 2)(x + 2)} \] \[ = \frac{2}{x^{2} - 4} \]