Effectuer les opérations suivantes et simplifier le résultat si nécessaire :
\(\frac{x^{2}}{x-y} - x\)
\(\frac{1}{a-b} - \frac{1}{a+b}\)
\(\frac{4}{x-2} - \frac{6}{x-3}\)
\(\frac{a}{a+b} - \frac{b}{b-a}\)
\(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} + 1\)
\(\frac{1}{x+1} + \frac{x}{2-x} + 1\)
Étape 1 : Écrire l’expression avec un dénominateur commun
Pour soustraire les deux termes, il faut qu’ils aient le même dénominateur. Le terme \(x\) peut être écrit avec le dénominateur \(x - y\) :
\[ \frac{x^{2}}{x - y} - x = \frac{x^{2}}{x - y} - \frac{x(x - y)}{x - y} \]
Étape 2 : Soustraire les numérateurs
Maintenant que les dénominateurs sont identiques, on peut soustraire les numérateurs :
\[ \frac{x^{2} - x(x - y)}{x - y} \]
Étape 3 : Développer et simplifier le numérateur
Développons le numérateur :
\[ x^{2} - x(x - y) = x^{2} - x^{2} + xy = xy \]
Étape 4 : Simplifier l’expression finale
Ainsi, l’expression simplifiée est :
\[ \frac{xy}{x - y} \]
Étape 1 : Trouver un dénominateur commun
Le dénominateur commun est \((a - b)(a + b)\).
Étape 2 : Réécrire chaque fraction avec le dénominateur commun
\[ \frac{1}{a - b} = \frac{a + b}{(a - b)(a + b)} \] \[ \frac{1}{a + b} = \frac{a - b}{(a - b)(a + b)} \]
Étape 3 : Soustraire les fractions
\[ \frac{a + b}{(a - b)(a + b)} - \frac{a - b}{(a - b)(a + b)} = \frac{(a + b) - (a - b)}{(a - b)(a + b)} \]
Étape 4 : Simplifier le numérateur
\[ (a + b) - (a - b) = a + b - a + b = 2b \]
Étape 5 : Écrire l’expression finale simplifiée
\[ \frac{2b}{(a - b)(a + b)} = \frac{2b}{a^{2} - b^{2}} \]
Étape 1 : Trouver un dénominateur commun
Le dénominateur commun est \((x - 2)(x - 3)\).
Étape 2 : Réécrire chaque fraction avec le dénominateur commun
\[ \frac{4}{x - 2} = \frac{4(x - 3)}{(x - 2)(x - 3)} \] \[ \frac{6}{x - 3} = \frac{6(x - 2)}{(x - 2)(x - 3)} \]
Étape 3 : Soustraire les fractions
\[ \frac{4(x - 3) - 6(x - 2)}{(x - 2)(x - 3)} \]
Étape 4 : Développer et simplifier le numérateur
\[ 4(x - 3) - 6(x - 2) = 4x - 12 - 6x + 12 = -2x \]
Étape 5 : Écrire l’expression finale simplifiée
\[ \frac{-2x}{(x - 2)(x - 3)} = -\frac{2x}{(x - 2)(x - 3)} \]
Étape 1 : Remarquer que \(b - a = -(a - b)\)
Ainsi, on peut réécrire la deuxième fraction :
\[ \frac{b}{b - a} = \frac{b}{-(a - b)} = -\frac{b}{a - b} \]
Étape 2 : Écrire l’expression initiale avec cette modification
\[ \frac{a}{a + b} - \frac{b}{b - a} = \frac{a}{a + b} + \frac{b}{a - b} \]
Étape 3 : Trouver un dénominateur commun
Le dénominateur commun est \((a + b)(a - b)\).
Étape 4 : Réécrire chaque fraction avec le dénominateur commun
\[ \frac{a}{a + b} = \frac{a(a - b)}{(a + b)(a - b)} \] \[ \frac{b}{a - b} = \frac{b(a + b)}{(a + b)(a - b)} \]
Étape 5 : Additionner les fractions
\[ \frac{a(a - b) + b(a + b)}{(a + b)(a - b)} \]
Étape 6 : Développer le numérateur
\[ a(a - b) + b(a + b) = a^{2} - ab + ab + b^{2} = a^{2} + b^{2} \]
Étape 7 : Écrire l’expression finale simplifiée
\[ \frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} - b^{2}} \]
Étape 1 : Trouver un dénominateur commun pour les deux premières fractions
Le dénominateur commun est \((x - 1)(x + 1)\).
Étape 2 : Réécrire les fractions avec le dénominateur commun
\[ \frac{1}{x - 1} = \frac{x + 1}{(x - 1)(x + 1)} \] \[ \frac{1}{x + 1} = \frac{x - 1}{(x - 1)(x + 1)} \]
Étape 3 : Soustraire les fractions
\[ \frac{x + 1}{(x - 1)(x + 1)} - \frac{x - 1}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{(x + 1) - (x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} \]
Étape 4 : Simplifier le numérateur
\[ (x + 1) - (x - 1) = x + 1 - x + 1 = 2 \]
Étape 5 : Ajouter le 1
L’expression devient :
\[ \frac{2}{(x - 1)(x + 1)} + 1 \]
Étape 6 : Écrire 1 avec le même dénominateur
\[ 1 = \frac{(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} \]
Étape 7 : Additionner les deux termes
\[ \frac{2 + (x - 1)(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{2 + (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1} = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1} \]
Étape 1 : Simplifier le deuxième terme
Remarquez que \(2 - x = -(x - 2)\), donc :
\[ \frac{x}{2 - x} = \frac{x}{-(x - 2)} = -\frac{x}{x - 2} \]
Étape 2 : Réécrire l’expression initiale avec cette modification
\[ \frac{1}{x + 1} - \frac{x}{x - 2} + 1 \]
Étape 3 : Trouver un dénominateur commun pour les deux fractions
Le dénominateur commun est \((x + 1)(x - 2)\).
Étape 4 : Réécrire les fractions avec le dénominateur commun
\[ \frac{1}{x + 1} = \frac{x - 2}{(x + 1)(x - 2)} \] \[ \frac{x}{x - 2} = \frac{x(x + 1)}{(x + 1)(x - 2)} \]
Étape 5 : Combiner les termes
\[ \frac{x - 2}{(x + 1)(x - 2)} - \frac{x(x + 1)}{(x + 1)(x - 2)} + 1 \]
Étape 6 : Soustraire les fractions
\[ \frac{x - 2 - x(x + 1)}{(x + 1)(x - 2)} + 1 = \frac{x - 2 - x^{2} - x}{(x + 1)(x - 2)} \]
Étape 7 : Simplifier le numérateur
\[ x - 2 - x^{2} - x = -x^{2} - 2 \]
Étape 8 : Ajouter le 1 avec le même dénominateur
\[ 1 = \frac{(x + 1)(x - 2)}{(x + 1)(x - 2)} \]
Étape 9 : Écrire l’expression complète
\[ \frac{-x^{2} - 2}{(x + 1)(x - 2)} + \frac{(x + 1)(x - 2)}{(x + 1)(x - 2)} = \frac{-x^{2} - 2 + (x + 1)(x - 2)}{(x + 1)(x - 2)} \]
Étape 10 : Développer \((x + 1)(x - 2)\)
\[ (x + 1)(x - 2) = x^{2} - 2x + x - 2 = x^{2} - x - 2 \]
Étape 11 : Simplifier le numérateur
\[ -x^{2} - 2 + x^{2} - x - 2 = -x - 4 \]
Étape 12 : Écrire l’expression finale simplifiée
\[ \frac{-x - 4}{(x + 1)(x - 2)} = \frac{-(x + 4)}{(x + 1)(x - 2)} \]