Simplifiez l’expression \(\frac{2x + y}{y + 2x}\).
Simplifiez l’expression \(\frac{a - 2b}{2b - a}\).
Simplifiez l’expression \(\frac{xy + x}{y^{2} + y}\).
Simplifiez l’expression \(\frac{3 \cdot (a - b)}{(a - b)^{2}}\).
Simplifiez l’expression \(\frac{4a x^{2} y + 2b x^{2} y}{8a x + 4b x}\).
Simplifiez l’expression \(\frac{2x^{2} + 2xy}{xy - y^{2}}\).
Exercice 1 : \(1\)
Exercice 2 : \(-1\)
Exercice 3 : \(\frac{x}{y}\), avec \(y \neq 0\) et \(y \neq -1\)
Exercice 4 : \(\frac{3}{a - b}\), avec \(a \neq b\)
Exercice 5 : \(\frac{1}{2} xy\), avec \(x \neq 0\) et \(2a + b \neq 0\)
Exercice 6 : \(\frac{2x(x + y)}{y(x - y)}\), avec \(y \neq 0\) et \(x \neq y\)
Question : Simplifiez l’expression \(\frac{2x + y}{y + 2x}\).
Correction :
Observation de l’expression :
\[ \frac{2x + y}{y + 2x} \]
Réarrangement des termes au dénominateur :
L’addition est commutative, ce qui signifie que l’ordre des termes n’affecte pas la somme. Donc :
\[ y + 2x = 2x + y \]
Simplification :
Substituons le dénominateur par \(2x + y\) :
\[ \frac{2x + y}{2x + y} \]
Maintenant, le numérateur et le dénominateur sont identiques.
Conclusion :
Une fraction où le numérateur est égal au dénominateur est égale à 1 (sauf si \(2x + y = 0\), mais ce cas est exclu ici).
\[ \frac{2x + y}{2x + y} = 1 \]
Réponse simplifiée : \(1\)
Question : Simplifiez l’expression \(\frac{a - 2b}{2b - a}\).
Correction :
Observation de l’expression :
\[ \frac{a - 2b}{2b - a} \]
Réarrangement du dénominateur :
Remarquons que \(2b - a = -(a - 2b)\).
\[ 2b - a = - (a - 2b) \]
Substitution dans l’expression originale :
\[ \frac{a - 2b}{- (a - 2b)} = -1 \]
Conclusion :
La fraction se simplifie à \(-1\).
Réponse simplifiée : \(-1\)
Question : Simplifiez l’expression \(\frac{xy + x}{y^{2} + y}\).
Correction :
Factorisation du numérateur :
\[ xy + x = x(y + 1) \]
Factorisation du dénominateur :
\[ y^{2} + y = y(y + 1) \]
Réécriture de l’expression simplifiée :
\[ \frac{x(y + 1)}{y(y + 1)} \]
Annulation du facteur commun \((y + 1)\) :
\[ \frac{x \cancel{(y + 1)}}{y \cancel{(y + 1)}} = \frac{x}{y} \]
Conditions d’existence :
\[ y \neq 0 \quad \text{et} \quad y + 1 \neq 0 \Rightarrow y \neq -1 \]
Réponse simplifiée : \(\frac{x}{y}\), avec \(y \neq 0\) et \(y \neq -1\)
Question : Simplifiez l’expression \(\frac{3 \cdot (a - b)}{(a - b)^{2}}\).
Correction :
Décomposition de l’expression :
\[ \frac{3 (a - b)}{(a - b)^{2}} = \frac{3 (a - b)}{(a - b)(a - b)} \]
Annulation d’un facteur commun \((a - b)\) :
\[ \frac{3 \cancel{(a - b)}}{\cancel{(a - b)} (a - b)} = \frac{3}{a - b} \]
Conditions d’existence :
\[ a - b \neq 0 \Rightarrow a \neq b \]
Réponse simplifiée : \(\frac{3}{a - b}\), avec \(a \neq b\)
Question : Simplifiez l’expression \(\frac{4a x^{2} y + 2b x^{2} y}{8a x + 4b x}\).
Correction :
Factorisation du numérateur :
\[ 4a x^{2} y + 2b x^{2} y = x^{2} y (4a + 2b) = 2x^{2} y (2a + b) \]
Factorisation du dénominateur :
\[ 8a x + 4b x = 4x (2a + b) \]
Réécriture de l’expression simplifiée :
\[ \frac{2x^{2} y (2a + b)}{4x (2a + b)} \]
Annulation du facteur commun \((2a + b)\) :
\[ \frac{2x^{2} y \cancel{(2a + b)}}{4x \cancel{(2a + b)}} = \frac{2x^{2} y}{4x} \]
Simplification des coefficients et des puissances de \(x\) :
\[ \frac{2x^{2} y}{4x} = \frac{2}{4} \cdot \frac{x^{2}}{x} \cdot y = \frac{1}{2} \cdot x \cdot y = \frac{1}{2} xy \]
Conditions d’existence :
\[ x \neq 0 \quad \text{et} \quad 2a + b \neq 0 \]
Réponse simplifiée : \(\frac{1}{2} xy\), avec \(x \neq 0\) et \(2a + b \neq 0\)
Question : Simplifiez l’expression \(\frac{2x^{2} + 2xy}{xy - y^{2}}\).
Correction :
Factorisation du numérateur :
\[ 2x^{2} + 2xy = 2x(x + y) \]
Factorisation du dénominateur :
\[ xy - y^{2} = y(x - y) \]
Réécriture de l’expression simplifiée :
\[ \frac{2x(x + y)}{y(x - y)} \]
Remarque sur les facteurs :
Il n’y a pas de facteurs communs supplémentaires à annuler.
Expression simplifiée finale :
\[ \frac{2x(x + y)}{y(x - y)} \]
Pour une présentation alternative, nous pouvons écrire :
\[ \frac{2x(x + y)}{y(x - y)} = \frac{2x(x + y)}{y(x - y)} \]
ou factoriser davantage si possible, mais dans ce cas, il n’y a pas de simplification supplémentaire évidente.
Conditions d’existence :
\[ y \neq 0 \quad \text{et} \quad x - y \neq 0 \Rightarrow y \neq 0 \quad \text{et} \quad x \neq y \]
Réponse simplifiée : \(\frac{2x(x + y)}{y(x - y)}\), avec \(y \neq 0\) et \(x \neq y\)