Exercice 92

Exercice

Entoure les nombres correspondant à chacune de ces questions.

1. Quels sont les nombres plus grands que 1 ?

   \[\frac{30}{45} \quad -\frac{2}{6} \quad \frac{20}{4} \quad \frac{3}{500} \quad \frac{4000}{4}\]

2. Quels sont les nombres plus grands que -1 ?

   \[\frac{2}{700} \quad \frac{4}{11} \quad -\frac{15}{3} \quad -\frac{8}{5} \quad -\frac{120}{90}\]

3. Quels sont les nombres plus petits que -1 ?

   \[\frac{3}{9} \quad \frac{28}{-28} \quad -\frac{140}{900} \quad \frac{6}{4} \quad -\frac{400000}{30000}\]

4. Quels sont les nombres qui ne valent ni 0 ni 1 ?

   \[\frac{-1}{-1}\]

5. Calculs :

   1. \[\frac{\frac{7}{10}}{8} =\]

   2. \[\frac{5}{10} \cdot \frac{3}{6} \div 5 =\]

   3. \[(-3,6) \div \left(+\frac{7}{4}\right) \div \left(-\frac{6}{18}\right) =\]

   4. \[\left(-\frac{4}{6}\right)^{2} =\]

   5. \[\frac{\left(-\frac{8}{12}\right)}{\frac{16}{6}} =\]

   6. \[\frac{8}{10} \div \frac{2}{7} \cdot 7 =\]

   7. \[\left(-\frac{4}{6}\right)^{3} \div \frac{12}{10} =\]

   8. \[\frac{\frac{4}{5}}{\frac{2}{3}} =\]

Réponse

Résumé des réponses :

1. Nombres > 1 : 20/4 et 4000/4
   
2. Nombres > –1 : 2/700 et 4/11
   
3. Nombres < –1 : -400000/30000
   
4. Aucun nombre ≠ 0 et ≠ 1 (car (-1)/(-1) = 1)
   
5. Calculs :
    a) 7/80  b) 1/20  c) 216/35  d) 4/9  e) -1/4  f) 98/5  g) -20/81  h) 6/5

Corrigé détaillé

Voici la correction complète de l’exercice avec des explications détaillées pour chaque question.

────────────────────────────── Question 1. Quels sont les nombres plus grands que 1 ?

Nous avons la liste suivante :

  30/45   -2/6   20/4   3/500   4000/4

Étape 1 : Simplifier ou estimer chaque fraction.

1. 30/45
     On peut simplifier en divisant numérateur et dénominateur par 15 :
     30 ÷ 15 = 2 et 45 ÷ 15 = 3, donc 30/45 = 2/3.
     Comme 2/3 ≃ 0,67, ce nombre est inférieur à 1.

2. -2/6
     On peut simplifier en divisant par 2 :
     -2 ÷ 2 = -1 et 6 ÷ 2 = 3, donc -2/6 = -1/3.
     C’est un nombre négatif, donc il est inférieur à 1.

3. 20/4
     20 ÷ 4 = 5, donc 20/4 = 5.
     5 est bien supérieur à 1.

4. 3/500
     3 ÷ 500 = 0,006, donc c’est un très petit nombre strictement inférieur à 1.

5. 4000/4
     4000 ÷ 4 = 1000.
     1000 est clairement supérieur à 1.

Conclusion pour la question 1 : Les nombres plus grands que 1 sont 20/4 et 4000/4.

────────────────────────────── Question 2. Quels sont les nombres plus grands que -1 ?

Liste à examiner :

  2/700   4/11   -15/3   -8/5   -120/90

Étape 1 : Calculer ou simplifier chaque fraction.

1. 2/700
     Ce nombre est positif et très petit (2 ÷ 700 ≃ 0,0029). Or 0,0029 > -1.
     Donc, 2/700 est plus grand que -1.

2. 4/11
     4/11 ≃ 0,36, ce qui est supérieur à -1.

3. -15/3
     -15 ÷ 3 = -5.
     -5 est inférieur à -1, donc il n’est pas retenu.

4. -8/5
     -8 ÷ 5 = -1,6.
     -1,6 < -1 : ce nombre n’est pas plus grand que -1.

5. -120/90
     On peut simplifier cette fraction en divisant par 30 :
     -120 ÷ 30 = -4 et 90 ÷ 30 = 3, donc -120/90 = -4/3 ≃ -1,33.
     Donc -4/3 est inférieur à -1.

Conclusion pour la question 2 : Les nombres plus grands que -1 sont 2/700 et 4/11.

────────────────────────────── Question 3. Quels sont les nombres plus petits que -1 ?

Liste à examiner :

  3/9   28/(-28)   -140/900   6/4   -400000/30000

Étape 1 : Simplifier ou estimer chaque nombre.

1. 3/9
     Simplifions : 3/9 = 1/3 ≃ 0,33.
     0,33 > -1, donc ce nombre ne convient pas.

2. 28/(-28)
     Ici le numérateur et le dénominateur se simplifient directement :
     28/(-28) = -1.
     Or, la question demande les nombres strictement plus petits que -1.
     -1 n’est pas strictement inférieur à -1, donc ce nombre ne compte pas.

3. -140/900
     Simplifions en divisant par 10 : -14/90 puis en divisant par 2, on obtient -7/45 ≃ -0,156.
     Ce nombre est supérieur à -1.

4. 6/4
     6 ÷ 4 = 1,5, ce nombre est positif.

5. -400000/30000
     Simplifions en divisant numérateur et dénominateur par 10000 :
     -400000 ÷ 10000 = -40 et 30000 ÷ 10000 = 3, donc on obtient -40/3 ≃ -13,33.
     -13,33 est bien inférieur à -1.

Conclusion pour la question 3 : Le seul nombre plus petit que -1 est -400000/30000.

────────────────────────────── Question 4. Quels sont les nombres qui ne valent ni 0 ni 1 ?

La liste donnée contient un unique nombre :

  (-1)/(-1)

Calculons ce nombre :   (-1)/(-1) = 1, puisque le quotient de deux nombres négatifs est positif.

Puisque 1 est explicitement exclu dans l’énoncé, aucun nombre de la liste ne correspond à la condition “ne vaut ni 0 ni 1”.

Conclusion pour la question 4 : Aucun des nombres proposés ne convient (car (-1)/(-1) = 1).

────────────────────────────── Question 5. Calculs

Nous allons traiter chaque calcul séparément.

1. Calculer (7/10) ÷ 8
     On transforme la division par 8 en multiplication par 1/8 :
     (7/10) × (1/8) = 7/(10×8) = 7/80.

Réponse a) : 7/80

────────────────────────────── b) Calculer (5/10) × (3/6) ÷ 5

Première étape : Calculer la multiplication
  5/10 = 1/2
  3/6 = 1/2
  Donc, (1/2) × (1/2) = 1/4.

Deuxième étape : Diviser le résultat par 5
  1/4 ÷ 5 = 1/4 × 1/5 = 1/20.

Réponse b) : 1/20

────────────────────────────── c) Calculer (-3,6) ÷ (7/4) ÷ (-6/18)

Première étape : Transformer -3,6 en fraction
  -3,6 = -36/10, que l’on simplifie en divisant numérateur et dénominateur par 2 : -18/5.

Deuxième étape : Diviser -18/5 par 7/4
  Division par une fraction équivaut à multiplier par son inverse :
  (-18/5) ÷ (7/4) = (-18/5) × (4/7) = -72/35.

Troisième étape : Diviser le résultat par -6/18
  On simplifie d’abord -6/18 = -1/3.
  Ensuite : (-72/35) ÷ (-1/3) = (-72/35) × ( -3/1).
  Le produit de deux nombres négatifs est positif :
  (-72 × -3) = 216, et le dénominateur : 35 × 1 = 35.
  On obtient 216/35.

Réponse c) : 216/35

────────────────────────────── d) Calculer ( -4/6 )²

Première étape : Simplifier -4/6
  Divisons par 2 : -4/6 = -2/3.

Deuxième étape : Élever au carré
  (-2/3)² = (-2)²/(3)² = 4/9.

Réponse d) : 4/9

────────────────────────────── e) Calculer (-8/12) ÷ (16/6)

Première étape : Simplifier -8/12
  Divisons numérateur et dénominateur par 4 : -8/12 = -2/3.

Deuxième étape : Réaliser la division
  (-2/3) ÷ (16/6) = (-2/3) × (6/16).
  On peut simplifier 6 et 16 en divisant 6/16 = 3/8.
  Donc, (-2/3) × (3/8) = -6/24, qui se simplifie en divisant par 6 : -1/4.

Réponse e) : -1/4

────────────────────────────── f) Calculer (8/10) ÷ (2/7) × 7

Première étape : Simplifier 8/10
  8/10 se simplifie en divisant numérateur et dénominateur par 2 : 4/5.

Deuxième étape : Effectuer la division par 2/7
  (4/5) ÷ (2/7) = (4/5) × (7/2) = 28/10.
  Simplifions 28/10 en divisant par 2 : 14/5.

Troisième étape : Multiplier par 7
  (14/5) × 7 = 14 × 7 / 5 = 98/5.

Réponse f) : 98/5

────────────────────────────── g) Calculer ( -4/6 )³ ÷ (12/10)

Première étape : Simplifier -4/6
  -4/6 = -2/3.

Deuxième étape : Élever -2/3 au cube
  (-2/3)³ = (-2)³/(3)³ = -8/27.

Troisième étape : Simplifier 12/10
  12/10 = 6/5 en divisant par 2.

Quatrième étape : Diviser -8/27 par 6/5
  -8/27 ÷ (6/5) = -8/27 × 5/6 = -40/162.
  Simplifions en divisant numérateur et dénominateur par 2 : -20/81.

Réponse g) : -20/81

────────────────────────────── h) Calculer (4/5) ÷ (2/3)

  Division : (4/5) ÷ (2/3) = (4/5) × (3/2) = (4×3)/(5×2) = 12/10.
  Simplifions 12/10 en divisant par 2 : 6/5.

Réponse h) : 6/5

────────────────────────────── Récapitulatif :

1. Nombres plus grands que 1 : 20/4 et 4000/4
   
2. Nombres plus grands que -1 : 2/700 et 4/11
   
3. Nombres plus petits que -1 : -400000/30000
   
4. Nombres qui ne valent ni 0 ni 1 : aucun (puisque (-1)/(-1) = 1)
   
5. Calculs :
    a) 7/80
    b) 1/20
    c) 216/35
    d) 4/9
    e) -1/4
    f) 98/5
    g) -20/81
    h) 6/5

Chaque étape a été détaillée afin de vous aider à comprendre le raisonnement et les simplifications utilisées.