Question: Écris chacun des nombres ci-dessous dans la plage appropriée.
a) 1. \(-0{,}05\) 2. \(\dfrac{60}{20}\) 3. \(4 - \sqrt{2}\) 4. \(-3^{3}\) 5. \(0^{5}\) 6. \(-0,\overline{3}\) 7. \(\dfrac{2}{10} + \dfrac{3}{1000}\) 8. \(0,\overline{7}\) 9. \(\sqrt[3]{-27}\) 10. \(\sqrt{5}\) 11. \(3{,}456789 \times 10^{4}\) 12. \(15\)
b) 1. \(3 + \dfrac{4}{1 + \dfrac{1}{4}}\) 2. \(\dfrac{\sqrt{4}}{2 \sqrt{4}}\) 3. \(\sqrt{4} \times \sqrt{9}\) 4. \(\sqrt{10^{-1}}\) 5. \(\dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{196}}\) 6. \(-\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}\) 7. \(150 \times 10^{-2}\) 8. \(\dfrac{3}{10^{-2}}\) 9. \(\pi^{2}\) 10. \(\sqrt[4]{81}\) 11. \(\dfrac{2 + \sqrt{6}}{2}\) 12. \(5 \times 0,\overline{4}\)
Tous les nombres des parties a) et b) ont été correctement classés dans leurs plages numériques appropriées. Par exemple, \(-0{,}05\) et \(-0,\overline{3}\) appartiennent à \(-1 < x < 0\), tandis que des valeurs positives comme \(3\), \(0{,}203\) ou \(\pi^{2}\) se situent respectivement dans les plages \(2 < x < 4\), \(0 < x < 1\) et \(9 < x < 10\). Chaque exercice a ainsi illustré la détermination précise de l’appartenance des nombres à leurs intervalles correspondants.
Sujet : Écris chacun des nombres ci-dessous dans la plage appropriée.
Correction :
Étape 1 : Identifier le signe du nombre.
Le nombre \(-0{,}05\) est négatif car il est précédé d’un signe moins (-).
Étape 2 : Analyser la valeur absolue.
La valeur absolue de \(-0{,}05\) est \(0{,}05\).
Étape 3 : Déterminer la plage.
Puisque \(-0{,}05\) est entre \(-1\) et \(0\), il se situe dans la plage \(-1 < x < 0\).
Conclusion : \(-0{,}05\) appartient à la plage \(-1 < x < 0\).
Correction :
Étape 1 : Simplifier la fraction.
\(\dfrac{60}{20} = 3\)
Étape 2 : Analyser le nombre obtenu.
Le nombre \(3\) est un entier positif.
Étape 3 : Déterminer la plage.
\(3\) se trouve dans la plage \(2 < x < 4\).
Conclusion : \(\dfrac{60}{20} = 3\) appartient à la plage \(2 < x < 4\).
Correction :
Étape 1 : Calculer la racine carrée de \(2\).
\(\sqrt{2} \approx 1{,}414\)
Étape 2 : Effectuer la soustraction.
\(4 - 1{,}414 = 2{,}586\)
Étape 3 : Déterminer la plage.
\(2{,}586\) se situe entre \(2\) et \(3\), donc dans la plage \(2 < x < 3\).
Conclusion : \(4 - \sqrt{2} \approx 2{,}586\) appartient à la plage \(2 < x < 3\).
Correction :
Étape 1 : Calculer l’exponentiation.
\(3^{3} = 27\)
Étape 2 : Appliquer le signe négatif.
\(-3^{3} = -27\)
Étape 3 : Déterminer la plage.
\(-27\) est un entier négatif, situé dans la plage \(-30 < x < -20\).
Conclusion : \(-3^{3} = -27\) appartient à la plage \(-30 < x < -20\).
Correction :
Étape 1 : Comprendre la puissance de zéro.
Tout nombre élevé à la puissance \(5\) où le nombre est \(0\) reste \(0\).
Étape 2 : Calcul.
\(0^{5} = 0\)
Étape 3 : Déterminer la plage.
\(0\) se situe dans la plage \(0 \leq x \leq 1\).
Conclusion : \(0^{5} = 0\) appartient à la plage \(0 \leq x \leq 1\).
Correction :
Étape 1 : Comprendre la notation \(0,\overline{3}\).
\(0,\overline{3}\) représente le nombre décimal périodique \(0{,}333\ldots\)
Étape 2 : Appliquer le signe négatif.
\(-0,\overline{3} = -0{,}333\ldots\)
Étape 3 : Déterminer la plage.
\(-0{,}333\ldots\) se trouve entre \(-1\) et \(0\), donc dans la plage \(-1 < x < 0\).
Conclusion : \(-0,\overline{3}\) appartient à la plage \(-1 < x < 0\).
Correction :
Étape 1 : Simplifier les fractions.
\(\dfrac{2}{10} = 0{,}2\)
\(\dfrac{3}{1000} = 0{,}003\)
Étape 2 : Effectuer l’addition.
\(0{,}2 + 0{,}003 = 0{,}203\)
Étape 3 : Déterminer la plage.
\(0{,}203\) se situe entre \(0\) et \(1\), donc dans la plage \(0 < x < 1\).
Conclusion : \(\dfrac{2}{10} + \dfrac{3}{1000} = 0{,}203\) appartient à la plage \(0 < x < 1\).
Correction :
Étape 1 : Comprendre la notation \(0,\overline{7}\).
\(0,\overline{7}\) représente le nombre décimal périodique \(0{,}777\ldots\)
Étape 2 : Déterminer la plage.
\(0{,}777\ldots\) se situe entre \(0\) et \(1\), donc dans la plage \(0 < x < 1\).
Conclusion : \(0,\overline{7}\) appartient à la plage \(0 < x < 1\).
Correction :
Étape 1 : Calculer la racine cubique de \(-27\).
La racine cubique de \(-27\) est \(-3\) car \((-3)^{3} = -27\).
Étape 2 : Déterminer la plage.
\(-3\) est un entier négatif, situé dans la plage \(-4 < x < -2\).
Conclusion : \(\sqrt[3]{-27} = -3\) appartient à la plage \(-4 < x < -2\).
Correction :
Étape 1 : Calculer la racine carrée de \(5\).
\(\sqrt{5} \approx 2{,}236\)
Étape 2 : Déterminer la plage.
\(2{,}236\) se situe entre \(2\) et \(3\), donc dans la plage \(2 < x < 3\).
Conclusion : \(\sqrt{5} \approx 2{,}236\) appartient à la plage \(2 < x < 3\).
Correction :
Étape 1 : Calculer l’exponentiation de \(10^{4}\).
\(10^{4} = 10\,000\)
Étape 2 : Effectuer la multiplication.
\(3{,}456789 \times 10\,000 = 34\,567{,}89\)
Étape 3 : Déterminer la plage.
\(34\,567{,}89\) est un nombre positif, situé dans la plage \(30\,000 < x < 40\,000\).
Conclusion : \(3{,}456789 \times 10^{4} = 34\,567{,}89\) appartient à la plage \(30\,000 < x < 40\,000\).
Correction :
Étape 1 : Analyser le nombre.
\(15\) est un entier positif.
Étape 2 : Déterminer la plage.
\(15\) se situe dans la plage \(10 < x < 20\).
Conclusion : \(15\) appartient à la plage \(10 < x < 20\).
Sujet : Écris chacun des nombres ci-dessous dans la plage appropriée.
Correction :
Étape 1 : Simplifier le dénominateur.
\(1 + \dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{4}\)
Étape 2 : Calculer la fraction.
\(\dfrac{4}{\dfrac{5}{4}} = 4 \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{16}{5} = 3{,}2\)
Étape 3 : Effectuer l’addition.
\(3 + 3{,}2 = 6{,}2\)
Étape 4 : Déterminer la plage.
\(6{,}2\) se situe entre \(6\) et \(7\), donc dans la plage \(6 < x < 7\).
Conclusion : \(3 + \dfrac{4}{1 + \dfrac{1}{4}} = 6{,}2\) appartient à la plage \(6 < x < 7\).
Correction :
Étape 1 : Calculer les racines carrées.
\(\sqrt{4} = 2\)
Étape 2 : Remplacer dans l’expression.
\(\dfrac{2}{2 \times 2} = \dfrac{2}{4} = 0{,}5\)
Étape 3 : Déterminer la plage.
\(0{,}5\) se situe entre \(0\) et \(1\), donc dans la plage \(0 < x < 1\).
Conclusion : \(\dfrac{\sqrt{4}}{2 \sqrt{4}} = 0{,}5\) appartient à la plage \(0 < x < 1\).
Correction :
Étape 1 : Calculer les racines carrées.
\(\sqrt{4} = 2\)
\(\sqrt{9} = 3\)
Étape 2 : Effectuer la multiplication.
\(2 \times 3 = 6\)
Étape 3 : Déterminer la plage.
\(6\) est un entier positif, situé dans la plage \(5 < x < 7\).
Conclusion : \(\sqrt{4} \times \sqrt{9} = 6\) appartient à la plage \(5 < x < 7\).
Correction :
Étape 1 : Comprendre l’exposant négatif.
\(10^{-1} = \dfrac{1}{10} = 0{,}1\)
Étape 2 : Calculer la racine carrée.
\(\sqrt{0{,}1} \approx 0{,}316\)
Étape 3 : Déterminer la plage.
\(0{,}316\) se situe entre \(0\) et \(1\), donc dans la plage \(0 < x < 1\).
Conclusion : \(\sqrt{10^{-1}} \approx 0{,}316\) appartient à la plage \(0 < x < 1\).
Correction :
Étape 1 : Calculer les racines carrées.
\(\sqrt{49} = 7\)
\(\sqrt{196} = 14\)
Étape 2 : Effectuer la division.
\(\dfrac{7}{14} = 0{,}5\)
Étape 3 : Déterminer la plage.
\(0{,}5\) se situe entre \(0\) et \(1\), donc dans la plage \(0 < x < 1\).
Conclusion : \(\dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{196}} = 0{,}5\) appartient à la plage \(0 < x < 1\).
Correction :
Étape 1 : Simplifier l’expression sous la racine.
\(\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\dfrac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5\)
Étape 2 : Appliquer le signe négatif.
\(-5\)
Étape 3 : Déterminer la plage.
\(-5\) est un entier négatif, situé dans la plage \(-6 < x < -4\).
Conclusion : \(-\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = -5\) appartient à la plage \(-6 < x < -4\).
Correction :
Étape 1 : Comprendre l’exposant négatif.
\(10^{-2} = \dfrac{1}{10^{2}} = \dfrac{1}{100} = 0{,}01\)
Étape 2 : Effectuer la multiplication.
\(150 \times 0{,}01 = 1{,}5\)
Étape 3 : Déterminer la plage.
\(1{,}5\) se situe entre \(1\) et \(2\), donc dans la plage \(1 < x < 2\).
Conclusion : \(150 \times 10^{-2} = 1{,}5\) appartient à la plage \(1 < x < 2\).
Correction :
Étape 1 : Comprendre l’exposant négatif.
\(10^{-2} = \dfrac{1}{10^{2}} = \dfrac{1}{100} = 0{,}01\)
Étape 2 : Effectuer la division.
\(\dfrac{3}{0{,}01} = 3 \times 100 = 300\)
Étape 3 : Déterminer la plage.
\(300\) est un nombre positif, situé dans la plage \(200 < x < 400\).
Conclusion : \(\dfrac{3}{10^{-2}} = 300\) appartient à la plage \(200 < x < 400\).
Correction :
Étape 1 : Calculer la valeur approchée de \(\pi^{2}\).
\(\pi \approx 3{,}1416\)
\(\pi^{2} \approx 3{,}1416^{2} \approx 9{,}8696\)
Étape 2 : Déterminer la plage.
\(9{,}8696\) se situe entre \(9\) et \(10\), donc dans la plage \(9 < x < 10\).
Conclusion : \(\pi^{2} \approx 9{,}8696\) appartient à la plage \(9 < x < 10\).
Correction :
Étape 1 : Comprendre la racine quatrième.
Recherchons \(x\) tel que \(x^{4} = 81\).
Étape 2 : Calculer la racine quatrième.
\(3^{4} = 81\), donc \(\sqrt[4]{81} = 3\)
Étape 3 : Déterminer la plage.
\(3\) est un entier positif, situé dans la plage \(2 < x < 4\).
Conclusion : \(\sqrt[4]{81} = 3\) appartient à la plage \(2 < x < 4\).
Correction :
Étape 1 : Calculer la racine carrée de \(6\).
\(\sqrt{6} \approx 2{,}449\)
Étape 2 : Effectuer l’addition.
\(2 + 2{,}449 = 4{,}449\)
Étape 3 : Effectuer la division.
\(\dfrac{4{,}449}{2} = 2{,}2245\)
Étape 4 : Déterminer la plage.
\(2{,}2245\) se situe entre \(2\) et \(3\), donc dans la plage \(2 < x < 3\).
Conclusion : \(\dfrac{2 + \sqrt{6}}{2} \approx 2{,}2245\) appartient à la plage \(2 < x < 3\).
Correction :
Étape 1 : Comprendre la notation \(0,\overline{4}\).
\(0,\overline{4}\) représente le nombre décimal périodique \(0{,}444\ldots\)
Étape 2 : Effectuer la multiplication.
\(5 \times 0{,}444\ldots = 2{,}222\ldots\)
Étape 3 : Simplifier la fraction.
\(0{,}444\ldots = \dfrac{4}{9}\)
Donc, \(5 \times \dfrac{4}{9} = \dfrac{20}{9} \approx 2{,}222\)
Étape 4 : Déterminer la plage.
\(2{,}222\) se situe entre \(2\) et \(3\), donc dans la plage \(2 < x < 3\).
Conclusion : \(5 \times 0,\overline{4} \approx 2{,}222\) appartient à la plage \(2 < x < 3\).
| Numéro | Partie a) | Plage Partie a) | Partie b) | Plage Partie b) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | \(-0{,}05\) | \(-1 < x < 0\) | 3 + … | \(6 < x < 7\) |
| 2 | \(3\) | \(2 < x < 4\) | \(\dfrac{\sqrt{4}}{2 \sqrt{4}} = 0{,}5\) | \(0 < x < 1\) |
| 3 | \(4 - \sqrt{2} \approx 2{,}586\) | \(2 < x < 3\) | \(\sqrt{4} \times \sqrt{9} = 6\) | \(5 < x < 7\) |
| 4 | \(-27\) | \(-30 < x < -20\) | \(\sqrt{10^{-1}} \approx 0{,}316\) | \(0 < x < 1\) |
| 5 | \(0\) | \(0 \leq x \leq 1\) | \(\dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{196}} = 0{,}5\) | \(0 < x < 1\) |
| 6 | \(-0,\overline{3}\) | \(-1 < x < 0\) | \(-\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = -5\) | \(-6 < x < -4\) |
| 7 | \(0{,}203\) | \(0 < x < 1\) | \(150 \times 10^{-2} = 1{,}5\) | \(1 < x < 2\) |
| 8 | \(0,\overline{7}\) | \(0 < x < 1\) | \(\dfrac{3}{10^{-2}} = 300\) | \(200 < x < 400\) |
| 9 | \(-3\) | \(-4 < x < -2\) | \(\pi^{2} \approx 9{,}8696\) | \(9 < x < 10\) |
| 10 | \(\sqrt{5} \approx 2{,}236\) | \(2 < x < 3\) | \(\sqrt[4]{81} = 3\) | \(2 < x < 4\) |
| 11 | \(3{,}456789 \times 10^{4} = 34\,567{,}89\) | \(30\,000 < x < 40\,000\) | \(\dfrac{2 + \sqrt{6}}{2} \approx 2{,}2245\) | \(2 < x < 3\) |
| 12 | \(15\) | \(10 < x < 20\) | \(5 \times 0,\overline{4} \approx 2{,}222\) | \(2 < x < 3\) |
Notation Décimale Périodique : Les nombres avec une barre au-dessus d’un chiffre (par exemple, \(0,\overline{3}\)) indiquent que ce chiffre se répète à l’infini.
Puissances Négatives : Un exposant négatif indique que le nombre est dans le dénominateur. Par exemple, \(10^{-2} = \dfrac{1}{10^{2}} = \dfrac{1}{100} = 0{,}01\).
Racines : \(\sqrt{}\) représente la racine carrée, tandis que \(\sqrt[n]{}\) représente la racine nième. Par exemple, \(\sqrt[3]{-27} = -3\) car \((-3)^3 = -27\).
Multiplications et Divisions : Lors de la manipulation d’expressions avec des puissances ou des racines, simplifiez les expressions étape par étape pour éviter les erreurs.
N’hésitez pas à pratiquer ces exercices pour mieux comprendre la classification des nombres dans leurs plages appropriées!