Question :
En écritures décimales
| \(\cdot\) | 0,2 | 0,4 | 0,6 | 0,8 | 1,0 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0,2 | |||||
| 0,4 | |||||
| 0,6 | |||||
| 0,8 | |||||
| 1,0 |
En écritures fractionnaires
| \(\cdot\) | \(\frac{1}{5}\) | \(\frac{2}{5}\) | \(\frac{3}{5}\) | \(\frac{4}{5}\) | \(1\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\frac{1}{5}\) | |||||
| \(\frac{2}{5}\) | |||||
| \(\frac{3}{5}\) | |||||
| \(\frac{4}{5}\) | |||||
| \(1\) |
| \(\cdot\) | \(0,\overline{4}\) | 0,5 | 1,2 | \(\frac{3}{4}\) | 0,8 | 0,3 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0,2 | ||||||
| \(\frac{2}{3}\) | ||||||
| \(0,\overline{2}\) | ||||||
| 1,0 | ||||||
| \(\frac{5}{3}\) | ||||||
| 0,4 | ||||||
| 0,6 |
Réponse très courte :
Pour chaque case, on multiplie le nombre en ligne par le nombre en colonne en utilisant leur écriture fractionnaire, puis on convertit le résultat dans le format demandé (décimal, décimal périodique ou fractionnaire). Par exemple, dans la partie a) on obtient 0,2×0,6=0,12 et (1/5)×(3/5)=3/25, et dans la partie b) on calcule, par exemple, (1/5)×(4/9)=4/45 puis 0,08overline{8} pour s’adapter à la notation de la colonne.
Nous allons résoudre cette activité par étapes en calculant, pour chaque case, le produit des deux facteurs situés sur sa ligne et sa colonne. Pour la première partie (tableaux “en écritures décimales” et “en écritures fractionnaires”), les facteurs sont homogènes (tous décimaux dans le premier tableau et tous sous forme de fractions dans le second). Pour la deuxième partie, on prendra soin d’obtenir pour chaque case une écriture conforme à celle du titre de la colonne (par exemple si la colonne est écrite avec un « 0,overline{4} », le résultat devra apparaître en écriture décimale périodique).
──────────────────────────── Partie a) – Compléter les tableaux en écritures décimales et fractionnaires
Les lignes et colonnes sont les nombres 0,2 ; 0,4 ; 0,6 ; 0,8 et 1,0 et le calcul demandé est le produit. Par exemple, pour la case située à l’intersection de la ligne 0,2 et de la colonne 0,6, on calcule : 0,2 × 0,6 = 0,12. On effectue ainsi tous les produits.
Voici le tableau complété :
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,2 0,04 0,08 0,12 0,16 0,20 0,4 0,08 0,16 0,24 0,32 0,40 0,6 0,12 0,24 0,36 0,48 0,60 0,8 0,16 0,32 0,48 0,64 0,80 1,0 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00
Expliquons brièvement quelques calculs : • Pour 0,2 × 0,2 : 2×2 = 4, et en tenant compte des chiffres après la virgule (un chiffre de chaque côté), on obtient 0,04. • Pour 0,4 × 0,6 : 4×6 = 24, et en positionnant la virgule, le résultat est 0,24.
Ici, il faut multiplier les fractions données. Par exemple, la multiplication dans la case correspondant à la ligne 1/5 et la colonne 3/5 se fait ainsi : (1/5) × (3/5) = 3/25. On complète le tableau entier en respectant le calcul de chaque produit.
Tableau complété :
1/5 2/5 3/5 4/5 1 1/5 1/25 2/25 3/25 4/25 1/5 2/5 2/25 4/25 6/25 8/25 2/5 3/5 3/25 6/25 9/25 12/25 3/5 4/5 4/25 8/25 12/25 16/25 4/5 1 1/5 2/5 3/5 4/5 1
Quelques explications : • Dans la case (2/5, 4/5) : (2/5) × (4/5) = 8/25. • Dans la case (1, 1) : 1 × 1 = 1.
──────────────────────────── Partie b) – Compléter le tableau avec les écritures appropriées
Dans ce tableau, les nombres sont donnés sous différents formats. Nous commencerons par convertir chaque nombre sous forme « exploitable » pour le produit. Voici une présentation des facteurs en les transformant en fractions (ce qui facilitera le calcul) tout en retenant que le résultat final devra être écrit selon le style de la colonne où il se trouve :
Facteurs en lignes : • R1 : 0,2 = 1/5
• R2 : 2/3 (déjà une fraction)
• R3 : 0,overline{2} = 2/9
• R4 : 1,0 = 1
• R5 : 5/3
• R6 : 0,4 = 2/5
• R7 : 0,6 = 3/5
Facteurs en colonnes : • C1 : 0,overline{4} = 4/9
• C2 : 0,5 = 1/2
• C3 : 1,2 = 6/5
• C4 : 3/4 (restera en écriture fractionnaire)
• C5 : 0,8 = 4/5
• C6 : 0,3 = 3/10
Pour chaque case, nous calculerons le produit en utilisant les fractions, puis nous donnerons le résultat dans l’écriture correspondant à la colonne (par exemple, si la colonne est en notation décimale, le résultat sera présenté en décimal, sauf si le nombre est une fraction simple et que la décimale n’est pas finie, auquel cas il est préférable d’écrire la fraction).
Procédons rangée par rangée :
──────────────────────────── Ligne 1 : R1 = 0,2 (soit 1/5)
• C1 (0,overline{4} = 4/9) :
(1/5) × (4/9) = 4/45
– En décimal, 4 ÷ 45 ≈ 0,088888…
Comme la colonne C1 est écrite avec la barre (périodique), on écrira :
0,08overline{8}.
• C2 (0,5 = 1/2) :
(1/5) × (1/2) = 1/10 = 0,1
• C3 (1,2 = 6/5) :
(1/5) × (6/5) = 6/25 = 0,24
• C4 (3/4) :
(1/5) × (3/4) = 3/20
On laisse en fraction puisque la colonne utilise une écriture
fractionnaire.
• C5 (0,8 = 4/5) :
(1/5) × (4/5) = 4/25 = 0,16
• C6 (0,3 = 3/10) :
(1/5) × (3/10) = 3/50 = 0,06
──────────────────────────── Ligne 2 : R2 = 2/3
• C1 :
(2/3) × (4/9) = 8/27
En décimal, 8 ÷ 27 ≈ 0,296296…
On écrit : 0, overline{296} (avec la période « 296 »).
• C2 :
(2/3) × (1/2) = 2/6 = 1/3
1/3 = 0,3333… (décimale non finie) ; ici, la colonne C2 est en
notation décimale (0,5) mais pour être exact, il convient d’écrire :
1/3.
• C3 :
(2/3) × (6/5) = 12/15 = 4/5 = 0,8
• C4 :
(2/3) × (3/4) = 6/12 = 1/2
La colonne C4 demande une écriture fractionnaire donc on écrit :
1/2.
• C5 :
(2/3) × (4/5) = 8/15
En décimal, 8 ÷ 15 ≈ 0,53333…
On écrit alors : 0,5overline{3} (le 3 se répète).
• C6 :
(2/3) × (3/10) = 6/30 = 1/5 = 0,2
──────────────────────────── Ligne 3 : R3 = 0,overline{2} = 2/9
• C1 :
(2/9) × (4/9) = 8/81
En décimal : 8 ÷ 81 ≈ 0,098765432…
On écrit : 0,098765432 avec la barre sur le groupe « 098765432 ».
• C2 :
(2/9) × (1/2) = 2/18 = 1/9
1/9 = 0,111…
On note : 0,1overline{1}.
• C3 :
(2/9) × (6/5) = 12/45 = 4/15
En décimal, 4 ÷ 15 ≈ 0,26666…
On écrit : 0,26overline{6}.
• C4 :
(2/9) × (3/4) = 6/36 = 1/6
Comme la colonne est en fraction, on laisse : 1/6.
• C5 :
(2/9) × (4/5) = 8/45
En décimal, 8 ÷ 45 ≈ 0,17777…
On écrit : 0,17overline{7}.
• C6 :
(2/9) × (3/10) = 6/90 = 1/15
1/15 ≈ 0,06666…
On écrit : 0,06overline{6}.
──────────────────────────── Ligne 4 : R4 = 1,0 = 1
Pour toute multiplication par 1, le produit est l’autre facteur.
• C1 : 1 × 0,overline{4} = 0,overline{4}
• C2 : 1 × 0,5 = 0,5
• C3 : 1 × 1,2 = 1,2
• C4 : 1 × 3/4 = 3/4
• C5 : 1 × 0,8 = 0,8
• C6 : 1 × 0,3 = 0,3
──────────────────────────── Ligne 5 : R5 = 5/3
• C1 :
(5/3) × (4/9) = 20/27
En décimal : 20 ÷ 27 ≈ 0,740740…
On écrit : 0,740overline{740} (le groupe « 740 » se répète).
• C2 :
(5/3) × (1/2) = 5/6
En décimal : 5/6 ≈ 0,83333…
On écrit : 0,83overline{3}.
• C3 :
(5/3) × (6/5) = 30/15 = 2
On note : 2,0.
• C4 :
(5/3) × (3/4) = 15/12 = 5/4
La colonne étant en fraction, on laisse : 5/4.
• C5 :
(5/3) × (4/5) = 20/15 = 4/3
En décimal, 4/3 ≈ 1,33333…
On écrit : 1,3overline{3}.
• C6 :
(5/3) × (3/10) = 15/30 = 1/2 = 0,5
──────────────────────────── Ligne 6 : R6 = 0,4 = 2/5
• C1 :
(2/5) × (4/9) = 8/45
En décimal ≈ 0,17777…
On écrit : 0,17overline{7}.
• C2 :
(2/5) × (1/2) = 2/10 = 0,2
• C3 :
(2/5) × (6/5) = 12/25 = 0,48
• C4 :
(2/5) × (3/4) = 6/20 = 3/10
La colonne C4 est fractionnaire, on écrit donc : 3/10.
• C5 :
(2/5) × (4/5) = 8/25 = 0,32
• C6 :
(2/5) × (3/10) = 6/50 = 3/25
En décimal, 3 ÷ 25 = 0,12
──────────────────────────── Ligne 7 : R7 = 0,6 = 3/5
• C1 :
(3/5) × (4/9) = 12/45 = 4/15
En décimal, 4/15 ≈ 0,26666…
On écrit : 0,26overline{6}.
• C2 :
(3/5) × (1/2) = 3/10 = 0,3
• C3 :
(3/5) × (6/5) = 18/25 = 0,72
• C4 :
(3/5) × (3/4) = 9/20
On laisse la fraction : 9/20.
• C5 :
(3/5) × (4/5) = 12/25 = 0,48
• C6 :
(3/5) × (3/10) = 9/50 = 0,18
──────────────────────────── Récapitulatif du tableau de la partie b) :
C1 (0,overline{4}) C2 (0,5) C3 (1,2) C4 (3/4) C5 (0,8) C6 (0,3) R1 (0,2) 0,08overline{8} 0,1 0,24 3/20 0,16 0,06 R2 (2/3) 0,overline{296} 1/3 0,8 1/2 0,5overline{3} 0,2 R3 (0,overline{2}) 0,overline{098765432} 0,1overline{1} 0,26overline{6} 1/6 0,17overline{7} 0,06overline{6} R4 (1,0) 0,overline{4} 0,5 1,2 3/4 0,8 0,3 R5 (5/3) 0,740overline{740} 0,83overline{3} 2,0 5/4 1,3overline{3} 0,5 R6 (0,4) 0,17overline{7} 0,2 0,48 3/10 0,32 0,12 R7 (0,6) 0,26overline{6} 0,3 0,72 9/20 0,48 0,18
──────────────────────────── Remarques finales :
• Pour chaque case, nous avons d’abord effectué la multiplication en utilisant la forme fractionnaire (pour simplifier le calcul) puis nous avons converti le résultat en écriture décimale ou fractionnaire selon le format indiqué dans l’en-tête de la colonne. • Par exemple, dans la case (R2, C2) le produit 1/3 ne pouvant s’exprimer par une décimale finie, nous l’avons laissé sous forme de fraction.
Cette démarche détaillée permet de compléter entièrement les tableaux comme l’exige l’exercice.