Question : Plusieurs mathématiciens ont proposé différentes séries pour estimer la valeur de \(\pi\).
Le mathématicien grec Archimède a démontré que :
\[ \pi \approx 3 + \frac{1}{10} - \frac{1}{10 \times 9} + \frac{1}{10 \times 9 \times 8} - \ldots \]
Numéro du terme : \(1 \quad 2 \quad 3 \quad 4\)
La mathématicienne française Sophie Germain a trouvé que :
\[ \pi^2 = 6 \left(1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \ldots \right) \]
Numéro du terme : \(1 \quad 2 \quad 3 \quad 4 \quad 5\)
Le mathématicien suisse Johann Bernoulli a établi que :
\[ \frac{\pi}{2} = 1 + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{5 \times 6} + \frac{1}{7 \times 8} + \ldots \]
Numéro du terme : \(1 \quad 2 \quad 3 \quad 4\)
Au XVIIIe siècle, la mathématicienne italienne Maria Gaetana Agnesi a proposé la série :
\[ \pi = 4 \left(1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \ldots \right) \]
Numéro du terme : \(1 \quad 2 \quad 3 \quad 4 \quad 5\)
Quelles sont les approximations successives de \(\pi\) obtenues en prenant 1 terme, puis 2 termes, puis 3 termes, et ainsi de suite, pour chacune de ces quatre séries ?
Réponse très courte :
Pour chaque série, on calcule la somme partielle puis on effectue une opération permettant d’obtenir une approximation de π. Ainsi :
• Série d’Archimède : 1 terme : 3
2 termes : 3,1
3 termes : ≈ 3,08889
4 termes : ≈ 3,09028
• Série de Sophie Germain (π ≈ √[6×S]) : 1 terme : ≈ 2,44949
2 termes : ≈ 2,73861
3 termes : ≈ 2,85774
4 termes : ≈ 2,922
5 termes : ≈ 2,96358
• Série de Johann Bernoulli (π = 2×S) : 1 terme : 2
2 termes : ≈ 2,16667
3 termes : ≈ 2,23333
4 termes : ≈ 2,26904
• Série de Maria Gaetana Agnesi (série de Leibniz, π = 4×S) : 1
terme : 4
2 termes : ≈ 2,66667
3 termes : ≈ 3,46667
4 termes : ≈ 2,89524
5 termes : ≈ 3,33968
Ces résultats démontrent que l’approximation de π se perfectionne à mesure que le nombre de termes augmentent.
Nous allons déterminer, pour chacune des quatre séries, des approximations de π en retenant successivement un terme, deux termes, trois termes, etc. Pour chaque série, on calcule la somme partielle indiquée, puis on effectue, si besoin, une opération pour retrouver π.
────────────────────────────── 1. Série d’Archimède
La série proposée est : π ≈ 3 + (1/10) – 1/(10×9) + 1/(10×9×8) –
…
Les numéros de termes sont indiqués ainsi : Terme 1 Terme 2 Terme
3 Terme 4
Calculons les approximations :
• Avec 1 terme : On considère seulement le premier terme. Approximation = 3
• Avec 2 termes : On ajoute le deuxième terme (1/10). Approximation = 3 + 1/10 = 3 + 0,1 = 3,1
• Avec 3 termes : On ajoute ensuite le troisième terme, qui est négatif. Calcul : 1/(10×9) = 1/90 ≈ 0,01111 Approximation = 3 + 0,1 – 0,01111 ≈ 3,08889
• Avec 4 termes : On ajoute le quatrième terme (positif cette fois). Calcul : 1/(10×9×8) = 1/720 ≈ 0,00139 Approximation = 3 + 0,1 – 1/90 + 1/720 ≈ 3,08889 + 0,00139 ≈ 3,09028
────────────────────────────── 2. Série de Sophie Germain
La formule donnée est : π² = 6 (1 + 1/2² + 1/3² + 1/4² + …) Les numéros de termes correspondent à : Terme 1 : 1 Terme 2 : 1/2² Terme 3 : 1/3² Terme 4 : 1/4² Terme 5 : 1/5²
Pour obtenir une approximation de π, on procède en deux étapes : 1) Calculer la somme partielle S = (1 + 1/2² + 1/3² + …) 2) Calculer π ≈ √[6 × S]
Faisons les calculs :
• Avec 1 terme : S₁ = 1 π ≈ √(6 × 1) = √6 ≈ 2,44949
• Avec 2 termes : S₂ = 1 + 1/2² = 1 + 1/4 = 1 + 0,25 = 1,25 π ≈ √(6 × 1,25) = √7,5 ≈ 2,73861
• Avec 3 termes : S₃ = 1 + 0,25 + 1/3² = 1 + 0,25 + 1/9 Or 1/9 ≈ 0,11111, donc S₃ ≈ 1 + 0,25 + 0,11111 = 1,36111 π ≈ √(6 × 1,36111) = √8,16667 ≈ 2,85774
• Avec 4 termes : S₄ = S₃ + 1/4² = 1,36111 + 1/16 Or 1/16 = 0,0625, donc S₄ ≈ 1,36111 + 0,0625 = 1,42361 π ≈ √(6 × 1,42361) = √8,54167 ≈ 2,922
• Avec 5 termes : S₅ = S₄ + 1/5² = 1,42361 + 1/25 Or 1/25 = 0,04, donc S₅ ≈ 1,42361 + 0,04 = 1,46361 π ≈ √(6 × 1,46361) = √8,78167 ≈ 2,96358
────────────────────────────── 3. Série de Johann Bernoulli
La série est : (π/2) = 1 + 1/(3×4) + 1/(5×6) + 1/(7×8) + …
Les numéros de termes donnés sont : Terme 1 Terme 2 Terme 3 Terme
4
Calculons la somme partielle, puis multiplions par 2 pour obtenir π :
• Avec 1 terme : S₁ = 1 π ≈ 2 × 1 = 2
• Avec 2 termes : S₂ = 1 + 1/(3×4) Calcul : 3×4 = 12, donc 1/12 ≈ 0,08333 S₂ ≈ 1 + 0,08333 = 1,08333 π ≈ 2 × 1,08333 = 2,16667
• Avec 3 termes : S₃ = 1 + 1/12 + 1/(5×6) Calcul : 5×6 = 30, donc 1/30 ≈ 0,03333 S₃ ≈ 1 + 0,08333 + 0,03333 = 1,11667 π ≈ 2 × 1,11667 = 2,23333
• Avec 4 termes : S₄ = 1 + 1/12 + 1/30 + 1/(7×8) Calcul : 7×8 = 56, donc 1/56 ≈ 0,01786 S₄ ≈ 1 + 0,08333 + 0,03333 + 0,01786 = 1,13452 π ≈ 2 × 1,13452 = 2,26904
────────────────────────────── 4. Série de Maria Gaetana Agnesi
La série est la célèbre série de Leibniz : π = 4 (1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + …) Les numéros de termes sont : Terme 1 Terme 2 Terme 3 Terme 4 Terme 5
Calculons les approximations :
• Avec 1 terme : S₁ = 1 π ≈ 4 × 1 = 4
• Avec 2 termes : S₂ = 1 – 1/3 Calcul : 1/3 ≈ 0,33333, donc S₂ ≈ 1 – 0,33333 = 0,66667 π ≈ 4 × 0,66667 = 2,66667
• Avec 3 termes : S₃ = 1 – 1/3 + 1/5 Calcul : 1/5 = 0,2, alors S₃ ≈ 1 – 0,33333 + 0,2 = 0,86667 π ≈ 4 × 0,86667 = 3,46667
• Avec 4 termes : S₄ = 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 Calcul : 1/7 ≈ 0,14286 Détaillons : 1 – 0,33333 = 0,66667, puis 0,66667 + 0,2 = 0,86667, et enfin 0,86667 – 0,14286 ≈ 0,72381 π ≈ 4 × 0,72381 = 2,89524
• Avec 5 termes : S₅ = 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 Calcul : 1/9 ≈ 0,11111 On ajoute au résultat précédent : 0,72381 + 0,11111 ≈ 0,83492 π ≈ 4 × 0,83492 = 3,33968
────────────────────────────── Récapitulatif des approximations successives de π :
Série d’Archimède : – 1 terme : 3 – 2 termes : 3,1 – 3 termes : environ 3,08889 – 4 termes : environ 3,09028
Série de Sophie Germain (pour π ≈ √[6×S]) : – 1 terme : √6 ≈ 2,44949 – 2 termes : √7,5 ≈ 2,73861 – 3 termes : √(8,16667) ≈ 2,85774 – 4 termes : environ 2,922 – 5 termes : environ 2,96358
Série de Johann Bernoulli : – 1 terme : π ≈ 2 – 2 termes : π ≈ 2,16667 – 3 termes : π ≈ 2,23333 – 4 termes : π ≈ 2,26904
Série de Maria Gaetana Agnesi (série de Leibniz) : – 1 terme : π ≈ 4 – 2 termes : π ≈ 2,66667 – 3 termes : π ≈ 3,46667 – 4 termes : π ≈ 2,89524 – 5 termes : π ≈ 3,33968
────────────────────────────── Remarques pédagogiques :
• Pour la série d’Archimède, les termes se révèlent de tailles très différentes et l’alternance des signes permet d’approcher progressivement la valeur de π.
• Dans la série de Sophie Germain, on remarque qu’on approxime d’abord π² par une somme de carrés inverses ; on retrouve ensuite π en calculant la racine carrée du résultat multiplié par 6.
• Pour la série de Johann Bernoulli, il suffit de calculer la somme partielle de termes simples, puis de multiplier par 2 pour obtenir l’approximation de π.
• La série de Maria Gaetana Agnesi (Leibniz) est une série alternée dont les sommes partielles oscillent autour de π. L’addition (ou soustraction) successive des termes ramène l’approximation de plus en plus près de la valeur recherchée.
Ces étapes de calcul montrent comment, en retenant un nombre croissant de termes dans chaque série, l’approximation de π se rapproche petit à petit de sa valeur réelle.
Voilà la correction détaillée pour chacune des quatre séries.