Exercice 81

Question : Classer les nombres suivants par ordre croissant :

1. \(\dfrac{9}{45}\)
2. \(\sqrt{196}\)
3. \(\dfrac{3\pi}{4}\)
4. \(-\dfrac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{27}}\)
5. \(-2,71\)
6. \(\dfrac{2+\sqrt{3}}{2}\)
7. \(\dfrac{19}{6}\)
8. \(\sqrt{\dfrac{121}{9}}\)
9. \(2 - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
10. \(1,732\)

Réponse

L’ordre croissant des nombres est :

–2,71 ; – (3√3)/(√27) ; 9/45 ; 2 – (√3)/2 ; 1,732 ; (2 + √3)/2 ; (3π)/4 ; 19/6 ; √(121/9) ; √196.

Corrigé détaillé

Nous devons classer par ordre croissant les dix nombres suivants :

1. 9/45
   
2. √196
   
3. (3π)/4
   
4. – (3√3)⁄(√27)
   
5. –2,71
   
6. (2 + √3)/2
   
7. 19/6
   
8. √(121⁄9)
   
9. 2 – (√3)/2
   
10. 1,732

Pour ce faire, il est utile de simplifier chaque nombre ou d’en donner une valeur approchée afin de pouvoir les comparer.

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Étape 1 : Simplifier ou approximer chaque nombre

1. 9/45
   On peut simplifier en divisant le numérateur et le dénominateur par 9 :
   9 ÷ 9 = 1 et 45 ÷ 9 = 5, donc 9/45 = 1/5.
   Valeur approchée : 1/5 = 0,2.

2. √196
   La racine carrée de 196 est 14 puisque 14² = 196.

3. (3π)/4
   Utilisons une approximation de π ≈ 3,14.
   (3 × 3,14) = 9,42, puis 9,42 ÷ 4 ≈ 2,355.
   Donc (3π)/4 ≈ 2,36.

4. – (3√3)/ (√27)
   Simplifions cette expression. Remarquons que √27 = √(9×3) = 3√3.
   Ainsi, – (3√3) / (3√3) = –1.

5. –2,71
   La valeur est déjà donnée : –2,71.

6. (2 + √3)/2
   Approximons √3 ≈ 1,732.
   Alors 2 + 1,732 ≈ 3,732, et diviser par 2 donne 3,732/2 ≈ 1,866.

7. 19/6
   Effectuons la division : 19 ÷ 6 ≈ 3,167 (car 6 × 3 = 18, et 19 – 18 = 1, donc 3 + 1/6 ≈ 3,167).

8. √(121/9)
   On peut séparer la racine : √(121/9) = √121⁄√9 = 11/3.
   En valeur approchée, 11 ÷ 3 ≈ 3,667.

9. 2 – (√3)/2
   En utilisant √3 ≈ 1,732, on a (√3)/2 ≈ 1,732/2 ≈ 0,866.
   Alors 2 – 0,866 ≈ 1,134.

10. 1,732
    La valeur est donnée directement : ≈ 1,732.

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Étape 2 : Résumer les valeurs approchées

Voici la liste avec les valeurs approchées :

– N°5 : –2,71
– N°4 : –1
– N°1 : 0,2
– N°9 : environ 1,134
– N°10 : environ 1,732
– N°6 : environ 1,866
– N°3 : environ 2,36
– N°7 : environ 3,167
– N°8 : environ 3,667
– N°2 : 14

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Étape 3 : Classer par ordre croissant

Partant de la plus petite valeur, nous obtenons :

1. –2,71 (n°5)
   
2. –1 (n°4)
   
3. 0,2 (n°1)
   
4. 1,134 (n°9)
   
5. 1,732 (n°10)
   
6. 1,866 (n°6)
   
7. 2,36 (n°3)
   
8. 3,167 (n°7)
   
9. 3,667 (n°8)
   
10. 14 (n°2)

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Conclusion

En réécrivant la liste dans l’ordre croissant et en indiquant l’expression correspondante, nous avons :

–2,71 ; – (3√3)/(√27) ; 9/45 ; 2 – (√3)/2 ; 1,732 ; (2 + √3)/2 ; (3π)/4 ; 19/6 ; √(121/9) ; √196.

Ainsi, les nombres classés par ordre croissant sont :

5. –2,71
   
6. – (3√3)/(√27)
   
7. 9/45
   
8. 2 – (√3)/2
   
9. 1,732
   
10. (2 + √3)/2
    
11. (3π)/4
    
12. 19/6
    
13. √(121/9)
    
14. √196

Cette méthode, qui consiste à simplifier chaque expression et à estimer leur valeur en nombre décimal, permet de comparer facilement les nombres et de les classer correctement.