Convertissez les décimales périodiques suivantes en fractions irréductibles.
\(7,\overline{3}\)
\(0,\overline{85}\)
\(5,1\overline{9}\)
\(0,\overline{166}\)
Réponses :
Nous allons convertir chacune des décimales périodiques en fractions irréductibles en suivant une méthode étape par étape.
Étape 1 : Définir la variable
Soit \(x = 7,\overline{3}\).
Étape 2 : Multiplier par une puissance de 10 appropriée
Puisque la partie périodique est composée d’un seul chiffre (3), nous multiplions par 10 :
\[ 10x = 73,\overline{3} \]
Étape 3 : Soustraire les deux équations
\[ 10x - x = 73,\overline{3} - 7,\overline{3} \] \[ 9x = 66 \]
Étape 4 : Résoudre pour \(x\)
\[ x = \frac{66}{9} \]
Étape 5 : Simplifier la fraction
\[ \frac{66}{9} = \frac{22}{3} \]
Réponse :
\[ 7,\overline{3} = \frac{22}{3} \]
Étape 1 : Définir la variable
Soit \(x = 0,\overline{85}\).
Étape 2 : Multiplier par une puissance de 10 appropriée
La partie périodique comprend deux chiffres (85), donc nous multiplions par 100 :
\[ 100x = 85,\overline{85} \]
Étape 3 : Soustraire les deux équations
\[ 100x - x = 85,\overline{85} - 0,\overline{85} \] \[ 99x = 85 \]
Étape 4 : Résoudre pour \(x\)
\[ x = \frac{85}{99} \]
Réponse :
\[ 0,\overline{85} = \frac{85}{99} \]
Étape 1 : Définir la variable
Soit \(x = 5,1\overline{9}\).
Étape 2 : Séparer la partie non périodique de la partie périodique
La partie non périodique est 5,1 et la partie périodique est 9.
Étape 3 : Définir deux équations pour éliminer la partie périodique
Multipliant par 10 pour décaler la partie périodique :
\[ 10x = 51,\overline{9} \]
Étape 4 : Soustraire les deux équations
\[ 10x - x = 51,\overline{9} - 5,1\overline{9} \] \[ 9x = 46,8 \]
Étape 5 : Résoudre pour \(x\)
Convertissons 46,8 en fraction :
\[ 46,8 = \frac{468}{10} \] \[ 9x = \frac{468}{10} \] \[ x = \frac{468}{10 \times 9} = \frac{468}{90} \]
Étape 6 : Simplifier la fraction
\[ \frac{468}{90} = \frac{52}{10} = \frac{26}{5} \]
Réponse :
\[ 5,1\overline{9} = \frac{26}{5} \]
Étape 1 : Définir la variable
Soit \(x = 0,\overline{166}\).
Étape 2 : Multiplier par une puissance de 10 appropriée
La partie périodique comprend trois chiffres (166), donc nous multiplions par 1000 :
\[ 1000x = 166,\overline{166} \]
Étape 3 : Soustraire les deux équations
\[ 1000x - x = 166,\overline{166} - 0,\overline{166} \] \[ 999x = 166 \]
Étape 4 : Résoudre pour \(x\)
\[ x = \frac{166}{999} \]
Étape 5 : Simplifier la fraction
Divisons le numérateur et le dénominateur par 83 :
\[ \frac{166}{999} = \frac{2 \times 83}{12 \times 83} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \]
Réponse :
\[ 0,\overline{166} = \frac{1}{6} \]
Les calculatrices modernes, en particulier les calculatrices scientifiques et les logiciels de calcul, permettent généralement de convertir des décimales périodiques en fractions. Cependant, toutes les calculatrices ne disposent pas de cette fonctionnalité de manière directe. Certaines applications ou outils en ligne sont spécialement conçus pour effectuer cette conversion automatiquement. Pour les calculatrices qui ne le permettent pas, il est possible de suivre la méthode expliquée ci-dessus manuellement.