Exercice 79

Question : Effectuez les calculs suivants :

  1. \(\frac{2}{3} - \frac{1}{4}\)

  2. \(\frac{7}{10} + \frac{3}{5}\)

  3. \(0,75 + \frac{2}{9}\)

  4. \(\frac{5}{6} + \frac{3}{8}\)

  5. \(\frac{5}{12} - \frac{2}{7}\)

  6. \(\frac{5}{80} \cdot \frac{12}{7} \cdot \frac{3}{4}\)

  7. \(\frac{13}{8} - \frac{4}{5}\)

  8. \(\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6}\)

  9. \(\frac{7}{18} - \frac{2}{9}\)

  10. \(\left(\frac{4}{7}\right)^{2}\)

  11. \(\frac{4}{9} : \frac{9}{10}\)

  12. \(\frac{4}{7} \cdot \frac{5}{11}\)

  13. \(\left(\frac{4}{3} + \frac{2}{5}\right)^{2}\)

  14. \(5 - \frac{9}{5} + \frac{3}{4}\)

  15. \(\frac{5}{6} : \frac{3}{4}\)

  16. \(\frac{3}{4} - \frac{3}{5}\)

  17. \(7 \cdot \frac{6}{4}\)

  18. \(\frac{\frac{3}{4}}{5}\)

  19. \(0,30 \cdot \frac{3}{7}\)

  20. \(\frac{15}{\frac{9}{4}}\)

  21. \(\frac{2}{3} \cdot \frac{-5}{7}\)

  22. \(2 + \frac{1}{1 + \frac{2}{1}}\)

  23. \(\frac{4^{2}}{12} + 0,2\)

  24. \(\frac{4}{3} : 0,\overline{4}\)

  25. \(\left(\frac{5}{2}\right)^{3}\)

Réponse

Voici le résumé des réponses obtenues :

  1. 5/12  b) 13/10  c) 35/36  d) 29/24  e) 11/84
  2. 9/112  g) 33/40  h) 5/8  i) 1/6  j) 16/49
  3. 40/81  m) 20/77  n) 676/225  o) 79/20  p) 10/9
  4. 3/20  r) 21/2  s) 3/20  t) 9/70  u) 20/3
  5. –10/21  w) 7/3  x) 23/15  y) 3  z) 125/8

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque calcul :

────────────────────────────── a) Calculer 2/3 – 1/4

  1. Pour soustraire deux fractions, il faut leur trouver un dénominateur commun. Ici, les dénominateurs sont 3 et 4. Leur produit 3 × 4 = 12 convient.
  2. Exprimer chaque fraction avec 12 comme dénominateur :   2/3 = (2×4)/(3×4) = 8/12
      1/4 = (1×3)/(4×3) = 3/12
  3. On soustrait ensuite les numérateurs :   8/12 – 3/12 = (8 – 3)/12 = 5/12

Réponse a) : 5/12

────────────────────────────── b) Calculer 7/10 + 3/5

  1. Les dénominateurs sont 10 et 5. Le dénominateur commun le plus simple est 10.
  2. Exprimer 3/5 avec le dénominateur 10 :   3/5 = (3×2)/(5×2) = 6/10
  3. On ajoute ensuite :   7/10 + 6/10 = (7 + 6)/10 = 13/10

Réponse b) : 13/10

────────────────────────────── c) Calculer 0,75 + 2/9

  1. Convertissons 0,75 en fraction. On sait que 0,75 = 75/100 et que 75/100 se simplifie en divisant numérateur et dénominateur par 25 :
      75 ÷ 25 = 3 et 100 ÷ 25 = 4, donc 0,75 = 3/4.
  2. Pour additionner 3/4 et 2/9, trouvons le dénominateur commun. Le plus petit commun multiple de 4 et 9 est 36.
  3. On transforme les fractions :   3/4 = (3×9)/(4×9) = 27/36
      2/9 = (2×4)/(9×4) = 8/36
  4. Addition :   27/36 + 8/36 = (27 + 8)/36 = 35/36

Réponse c) : 35/36

────────────────────────────── d) Calculer 5/6 + 3/8

  1. Cherchons un dénominateur commun pour 6 et 8. Le plus petit commun multiple est 24.
  2. Conversion :   5/6 = (5×4)/(6×4) = 20/24
      3/8 = (3×3)/(8×3) = 9/24
  3. Addition :   20/24 + 9/24 = (20 + 9)/24 = 29/24

Réponse d) : 29/24

────────────────────────────── e) Calculer 5/12 – 2/7

  1. Les dénominateurs 12 et 7 ont pour plus petit commun multiple 84.
  2. Conversion :   5/12 = (5×7)/(12×7) = 35/84
      2/7 = (2×12)/(7×12) = 24/84
  3. Soustraction :   35/84 – 24/84 = (35 – 24)/84 = 11/84

Réponse e) : 11/84

────────────────────────────── f) Calculer (5/80) × (12/7) × (3/4)

  1. Simplifions d’abord 5/80 :
      5/80 = 1/16 (car 5 divise 5 et 80 divisé par 5 vaut 16).
  2. Le calcul devient :
      (1/16) × (12/7) × (3/4)
  3. Multiplions les numérateurs et les dénominateurs :   Numérateur : 1 × 12 × 3 = 36
      Dénominateur : 16 × 7 × 4 = 448
  4. On obtient 36/448. Simplifions cette fraction en divisant par 4 :   36 ÷ 4 = 9 et 448 ÷ 4 = 112, soit 9/112

Réponse f) : 9/112

────────────────────────────── g) Calculer 13/8 – 4/5

  1. Les dénominateurs 8 et 5 ont pour plus petit commun multiple 40.
  2. Conversion :   13/8 = (13×5)/(8×5) = 65/40
      4/5 = (4×8)/(5×8) = 32/40
  3. Soustraction :   65/40 – 32/40 = (65 – 32)/40 = 33/40

Réponse g) : 33/40

────────────────────────────── h) Calculer 3/4 × 5/6

  1. Multiplier numérateurs entre eux et dénominateurs entre eux :   Numérateur : 3×5 = 15
      Dénominateur : 4×6 = 24
  2. La fraction 15/24 se simplifie en divisant par 3 :   15 ÷ 3 = 5 et 24 ÷ 3 = 8, soit 5/8

Réponse h) : 5/8

────────────────────────────── i) Calculer 7/18 – 2/9

  1. Le dénominateur commun de 18 et 9 est 18.
  2. Conversion :   7/18 reste inchangé
      2/9 = (2×2)/(9×2) = 4/18
  3. Soustraction :   7/18 – 4/18 = (7 – 4)/18 = 3/18
      Simplification en divisant par 3 : 3/18 = 1/6

Réponse i) : 1/6

────────────────────────────── j) Calculer (4/7)²

  1. Élever une fraction au carré consiste à élever le numérateur et le dénominateur au carré :   (4²)/(7²) = 16/49

Réponse j) : 16/49

────────────────────────────── k) Calculer (4/9) ÷ (9/10)

  1. La division par une fraction est équivalente à la multiplication par son inverse :   (4/9) ÷ (9/10) = (4/9) × (10/9)
  2. Multiplions :   Numérateur : 4 × 10 = 40
      Dénominateur : 9 × 9 = 81

Réponse k) : 40/81

────────────────────────────── m) Calculer 4/7 × 5/11

  1. Multiplier les numérateurs et les dénominateurs :   Numérateur : 4×5 = 20
      Dénominateur : 7×11 = 77

Réponse m) : 20/77

────────────────────────────── n) Calculer (4/3 + 2/5)²

  1. D’abord, additionnons 4/3 et 2/5. Trouvons le dénominateur commun pour 3 et 5, qui est 15.
  2. Conversion :   4/3 = (4×5)/(3×5) = 20/15
      2/5 = (2×3)/(5×3) = 6/15
  3. Addition :   20/15 + 6/15 = 26/15
  4. Élever au carré :   (26/15)² = (26²)/(15²) = 676/225

Réponse n) : 676/225

────────────────────────────── o) Calculer 5 – 9/5 + 3/4

  1. Pour additionner et soustraire ces nombres, exprimons-les avec un dénominateur commun. Choisissons 20.
  2. Conversion :   5 = 5/1 = (5×20)/(1×20) = 100/20
      9/5 = (9×4)/(5×4) = 36/20
      3/4 = (3×5)/(4×5) = 15/20
  3. Effectuons l’opération :   100/20 – 36/20 + 15/20 = (100 – 36 + 15)/20 = 79/20

Réponse o) : 79/20

────────────────────────────── p) Calculer 5/6 ÷ 3/4

  1. La division par une fraction est transformée en multiplication par son inverse :   5/6 ÷ 3/4 = 5/6 × 4/3
  2. Multiplication directe :   Numérateur : 5×4 = 20
      Dénominateur : 6×3 = 18
      On simplifie en divisant numérateur et dénominateur par 2 : 20/18 = 10/9

Réponse p) : 10/9

────────────────────────────── q) Calculer 3/4 – 3/5

  1. Cherchons un dénominateur commun pour 4 et 5, qui est 20.
  2. Conversion :   3/4 = (3×5)/(4×5) = 15/20
      3/5 = (3×4)/(5×4) = 12/20
  3. Soustraction :   15/20 – 12/20 = (15 – 12)/20 = 3/20

Réponse q) : 3/20

────────────────────────────── r) Calculer 7 × (6/4)

  1. Multiplions 7 par 6/4 :   7 × 6/4 = (7×6)/4 = 42/4
  2. On peut simplifier en divisant numérateur et dénominateur par 2 :   42 ÷ 2 = 21 et 4 ÷ 2 = 2, soit 21/2

Réponse r) : 21/2

────────────────────────────── s) Calculer (3/4) ÷ 5

  1. Diviser par un entier équivaut à multiplier par son inverse. Ainsi :   (3/4) ÷ 5 = (3/4) × (1/5) = 3/(4×5) = 3/20

Réponse s) : 3/20

────────────────────────────── t) Calculer 0,30 × (3/7)

  1. Convertissons 0,30 en fraction. On peut écrire 0,30 = 30/100, qui se simplifie en divisant par 10 : 30/100 = 3/10.
  2. Multiplions ensuite :   (3/10) × (3/7) = (3×3)/(10×7) = 9/70

Réponse t) : 9/70

────────────────────────────── u) Calculer 15 ÷ (9/4)

  1. Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse :   15 ÷ (9/4) = 15 × (4/9)
  2. Calculons le produit :   15 × 4 = 60 et donc 60/9
  3. Simplifions en divisant par 3 :   60 ÷ 3 = 20 et 9 ÷ 3 = 3, soit 20/3

Réponse u) : 20/3

────────────────────────────── v) Calculer (2/3) × (–5/7)

  1. On multiplie directement numérateur par numérateur et dénominateur par dénominateur :   Numérateur : 2 × (–5) = –10
      Dénominateur : 3 × 7 = 21
  2. On obtient –10/21, qui est déjà simplifié.

Réponse v) : –10/21

────────────────────────────── w) Calculer 2 + 1/(1 + 2/1)

  1. Calculons d’abord l’expression du dénominateur intérieur :   1 + 2/1 = 1 + 2 = 3
  2. On a alors 1/3 pour la fraction dans l’addition avec 2.
  3. Addition :   2 + 1/3 = (2 = 6/3) donc 6/3 + 1/3 = 7/3

Réponse w) : 7/3

────────────────────────────── x) Calculer (4²)/12 + 0,2

  1. D’abord, 4² = 16, donc (4²)/12 = 16/12. Cette fraction se simplifie en divisant numérateur et dénominateur par 4 :   16 ÷ 4 = 4 et 12 ÷ 4 = 3, soit 4/3.
  2. Convertissons 0,2 en fraction : 0,2 = 2/10 = 1/5.
  3. Additionnons 4/3 et 1/5 en cherchant un dénominateur commun. Le plus petit commun multiple de 3 et 5 est 15.   4/3 = (4×5)/(3×5) = 20/15
      1/5 = (1×3)/(5×3) = 3/15
  4. Addition :   20/15 + 3/15 = 23/15

Réponse x) : 23/15

────────────────────────────── y) Calculer (4/3) ÷ 0,4 périodique (écrit 0,overline{4})

  1. La notation 0,overline{4} désigne le nombre décimal 0,444… qui se représente par la fraction 4/9.
  2. On effectue la division :   (4/3) ÷ (4/9) = (4/3) × (9/4)
  3. Simplification immédiate par 4 :   (4/3) × (9/4) = 9/3 = 3

Réponse y) : 3

────────────────────────────── z) Calculer (5/2)³

  1. Élever au cube une fraction signifie élever le numérateur et le dénominateur à la puissance 3 :   (5/2)³ = 5³/2³ = 125/8

Réponse z) : 125/8

────────────────────────────── Conclusion

Chaque calcul a été effectué en transformant les fractions pour avoir des dénominateurs communs (lorsqu’il s’agissait d’additions ou de soustractions), en appliquant les règles de simplification ainsi que les règles de multiplication et de division des fractions. Ces étapes permettent de résoudre les exercices pas à pas et de vérifier la cohérence des résultats obtenus.

N’hésitez pas à relire chaque étape pour bien comprendre le raisonnement utilisé dans chacun des calculs.

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