Soit \(n\) un nombre naturel. Effectue les opérations suivantes :
Exprime le résultat sous forme de fraction irréductible et détermine le nombre initial \(n\).
Après les opérations, le résultat final est \(\frac{37n}{27}\), une fraction irréductible. Le nombre initial \(n\) reste indéterminé.
Bien sûr, procédons étape par étape pour résoudre cet exercice.
Soit \(n\) un nombre naturel. Effectue les opérations suivantes :
Exprime le résultat sous forme de fraction irréductible et détermine le nombre initial \(n\).
Étape 1 : Multiplier \(n\) par \(\frac{2}{3}\)
Commencez par multiplier le nombre initial \(n\) par la fraction \(\frac{2}{3}\).
\[ \text{Résultat 1} = n \times \frac{2}{3} = \frac{2n}{3} \]
Étape 2 : Multiplier le résultat précédent par \(\frac{5}{9}\)
Prenez le résultat obtenu à l’étape 1 et multipliez-le par \(\frac{5}{9}\).
\[ \text{Résultat 2} = \frac{2n}{3} \times \frac{5}{9} = \frac{2n \times 5}{3 \times 9} = \frac{10n}{27} \]
Étape 3 : Ajouter \(n\) au dernier résultat
Ajoutez le nombre initial \(n\) au résultat obtenu à l’étape 2.
\[ \text{Résultat Final} = \frac{10n}{27} + n \]
Pour additionner ces deux termes, il est préférable d’exprimer \(n\) sous la même forme fractionnaire que \(\frac{10n}{27}\).
\[ n = \frac{27n}{27} \]
Ainsi,
\[ \text{Résultat Final} = \frac{10n}{27} + \frac{27n}{27} = \frac{10n + 27n}{27} = \frac{37n}{27} \]
Expression sous forme de fraction irréductible
La fraction obtenue est \(\frac{37n}{27}\). Pour vérifier si cette fraction est irréductible, examinons les facteurs premiers de 37 et 27.
Puisque 37 n’est pas divisible par 3, le numérateur et le dénominateur n’ont pas de facteurs communs autres que 1. Donc, la fraction est déjà irréductible.
\[ \frac{37n}{27} \]
Détermination du nombre initial \(n\)
L’énoncé ne fournit pas d’information supplémentaire pour déterminer une valeur spécifique de \(n\). Cependant, nous savons que \(n\) est un nombre naturel (c’est-à-dire un entier positif). Donc, \(n\) peut être n’importe quel entier positif, et le résultat final dépend de la valeur choisie pour \(n\).
Par exemple :
Si \(n = 1\) :
\[ \frac{37 \times 1}{27} = \frac{37}{27} \]
Si \(n = 2\) :
\[ \frac{37 \times 2}{27} = \frac{74}{27} \]
Ainsi, sans information supplémentaire, \(n\) reste un nombre naturel indéterminé.