Exercice 69

Question : Les forêts représentent \(\frac{3}{8}\) de la superficie totale d’un pays.

1. Les prairies occupent un tiers de la superficie restante. Quelle fraction de la superficie totale du pays occupent-elles ?

2. Sachant que la superficie des prairies est de \(90\,000\,000 \ \mathrm{km}^{2}\), détermine la superficie totale du pays.

Réponse

Réponse succincte :

1. Les prairies occupent \(\frac{5}{24}\) de la superficie totale du pays.

2. La superficie totale du pays est de \(432\,000\,000 \ \mathrm{km}^{2}\).

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

Partie a

Énoncé : Les forêts représentent \(\frac{3}{8}\) de la superficie totale d’un pays.
Les prairies occupent un tiers de la superficie restante. Quelle fraction de la superficie totale du pays occupent-elles ?

Correction :

1. Comprendre la situation :

   • La superficie totale du pays est représentée par \(\frac{8}{8}\) (ou \(1\)).
   • Les forêts occupent \(\frac{3}{8}\) de cette superficie.

2. Calculer la superficie restante après les forêts : \[ \text{Superficie restante} = \frac{8}{8} - \frac{3}{8} = \frac{5}{8} \] Donc, \(\frac{5}{8}\) de la superficie totale reste pour les autres usages (prairies, villes, etc.).

3. Déterminer la fraction occupée par les prairies :

   • Les prairies occupent un tiers de la superficie restante.
   • Calculons un tiers de \(\frac{5}{8}\) : \[ \frac{1}{3} \times \frac{5}{8} = \frac{5}{24} \]

4. Conclusion : Les prairies occupent \(\frac{5}{24}\) de la superficie totale du pays.

Partie b

Énoncé : Sachant que la superficie des prairies est de \(90\,000\,000 \ \mathrm{km}^{2}\), détermine la superficie totale du pays.

Correction :

1. Rappeler la fraction occupée par les prairies :

   • D’après la partie a, les prairies représentent \(\frac{5}{24}\) de la superficie totale du pays.

2. Établir l’équation :

   • Soit \(S\) la superficie totale du pays.
   • On sait que \(\frac{5}{24} \times S = 90\,000\,000 \ \mathrm{km}^{2}\).

3. Résoudre pour \(S\) : \[ \frac{5}{24} \times S = 90\,000\,000 \] Pour isoler \(S\), on multiplie les deux côtés de l’équation par \(\frac{24}{5}\) : \[ S = 90\,000\,000 \times \frac{24}{5} \]

4. Calculer : \[ S = 90\,000\,000 \times \frac{24}{5} = 90\,000\,000 \times 4,8 = 432\,000\,000 \ \mathrm{km}^{2} \]

5. Conclusion : La superficie totale du pays est de \(432\,000\,000 \ \mathrm{km}^{2}\).