Dans une salle polyvalente, la moitié des élèves pratiquent le sport, le quart s’adonnent à la musique, le huitième participent au théâtre, et quatre élèves font de la peinture. Il n’y a pas d’autres élèves que ceux dont l’activité est mentionnée.
Démontre qu’il y a 32 élèves dans la salle.
Calcule le nombre d’élèves qui pratiquent le sport, la musique et le théâtre.
Réponse succincte :
Il y a 32 élèves dans la salle.
Correction de l’exercice
Question a. Démontre qu’il y a 32 élèves dans la salle.
Pour déterminer le nombre total d’élèves dans la salle, suivons les étapes suivantes :
Définissons le nombre total d’élèves :
Soit \(N\) le nombre total d’élèves dans la salle.
Exprimez chaque groupe d’élèves en fonction de \(N\) :
Sport : La moitié des élèves pratiquent le sport. \[ \frac{1}{2}N \]
Musique : Le quart des élèves s’adonnent à la musique. \[ \frac{1}{4}N \]
Théâtre : Le huitième des élèves participent au théâtre. \[ \frac{1}{8}N \]
Peinture : Il y a 4 élèves qui font de la peinture. \[ 4 \]
Établissons une équation pour le nombre total d’élèves :
La somme des élèves de chaque activité doit être égale au nombre total d’élèves. \[ \frac{1}{2}N + \frac{1}{4}N + \frac{1}{8}N + 4 = N \]
Simplifions l’équation :
Additionnons les fractions : \[ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} + \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{7}{8} \]
L’équation devient : \[ \frac{7}{8}N + 4 = N \]
Résolvons l’équation pour \(N\) :
Soustrayons \(\frac{7}{8}N\) des deux côtés de l’équation : \[ 4 = N - \frac{7}{8}N \]
\[ 4 = \frac{1}{8}N \]
Multiplions les deux côtés par 8 pour isoler \(N\) : \[ N = 4 \times 8 \]
\[ N = 32 \]
Conclusion : Il y a donc 32 élèves dans la salle.
Question b. Calcule le nombre d’élèves qui pratiquent le sport, la musique et le théâtre.
Maintenant que nous savons qu’il y a \(N = 32\) élèves au total, calculons le nombre d’élèves dans chaque activité.
Sport :
La moitié des élèves pratiquent le sport. \[ \frac{1}{2} \times 32 = 16 \]
Nombre d’élèves pratiquant le sport : 16
Musique :
Le quart des élèves s’adonnent à la musique. \[ \frac{1}{4} \times 32 = 8 \]
Nombre d’élèves pratiquant la musique : 8
Théâtre :
Le huitième des élèves participent au théâtre. \[ \frac{1}{8} \times 32 = 4 \]
Nombre d’élèves participant au théâtre : 4
Vérification :
Additionnons le nombre d’élèves de chaque activité pour s’assurer que cela correspond au total : \[ 16 \ (\text{Sport}) + 8 \ (\text{Musique}) + 4 \ (\text{Théâtre}) + 4 \ (\text{Peinture}) = 32 \] Cela confirme que notre calcul est correct.
Conclusion : - Sport : 16 élèves - Musique : 8 élèves - Théâtre : 4 élèves