Exercice 66

Question : Calcule \(L = \frac{36}{54} \cdot \frac{120}{30} \cdot \frac{84}{63}\).

Réponse

Après simplification, \(L = \frac{32}{9}\) ou \(3\,\frac{5}{9}\).

Corrigé détaillé

Correction détaillée

Pour calculer \(L = \frac{36}{54} \times \frac{120}{30} \times \frac{84}{63}\), suivons les étapes suivantes :

Étape 1 : Simplifier chaque fraction

Commencez par simplifier chaque fraction en réduisant le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur (PGCD).

1. Première fraction : \(\frac{36}{54}\)
   • Le PGCD de 36 et 54 est 18.
   • \(\frac{36 \div 18}{54 \div 18} = \frac{2}{3}\)
2. Deuxième fraction : \(\frac{120}{30}\)
   • Le PGCD de 120 et 30 est 30.
   • \(\frac{120 \div 30}{30 \div 30} = \frac{4}{1} = 4\)
3. Troisième fraction : \(\frac{84}{63}\)
   • Le PGCD de 84 et 63 est 21.
   • \(\frac{84 \div 21}{63 \div 21} = \frac{4}{3}\)

Après simplification, l’expression devient : \[ L = \frac{2}{3} \times 4 \times \frac{4}{3} \]

Étape 2 : Effectuer la multiplication

Multiplions les fractions simplifiées étape par étape.

1. Multiplier les deux premières valeurs : \[ \frac{2}{3} \times 4 = \frac{2 \times 4}{3} = \frac{8}{3} \]

2. Multiplier le résultat par la troisième fraction : \[ \frac{8}{3} \times \frac{4}{3} = \frac{8 \times 4}{3 \times 3} = \frac{32}{9} \]

Résultat final

Ainsi, le calcul donne : \[ L = \frac{32}{9} \]

Si vous préférez une fraction mixte, cela correspond à : \[ L = 3 \frac{5}{9} \]

Conclusion

En simplifiant chaque fraction avant de les multiplier, nous avons pu calculer \(L\) de manière efficace. Cette méthode permet de simplifier les calculs et d’éviter les erreurs.