Exercice 65

Question : Calculez :

\[ A = \frac{18}{54} \times \frac{30}{60}, \quad B = \frac{45}{25} \times \frac{35}{28}, \quad C = \frac{21}{35} \div \frac{14}{20} \]

Réponse

Réponse

\[ \boxed{ \begin{align*} A &= \frac{1}{6}, \\ B &= \frac{9}{4} \text{ ou } 2\frac{1}{4}, \\ C &= \frac{6}{7}. \end{align*} } \]

Corrigé détaillé

Correction détaillée

Calculons les expressions \(A\), \(B\) et \(C\) étape par étape.

1. Calcul de \(A = \frac{18}{54} \times \frac{30}{60}\)

Étape 1 : Simplifier les fractions

Simplifions chaque fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur (PGCD).

• Pour \(\frac{18}{54}\) : \[ \text{PGCD de } 18 \text{ et } 54 = 18 \] \[ \frac{18}{54} = \frac{18 \div 18}{54 \div 18} = \frac{1}{3} \]

• Pour \(\frac{30}{60}\) : \[ \text{PGCD de } 30 \text{ et } 60 = 30 \] \[ \frac{30}{60} = \frac{30 \div 30}{60 \div 30} = \frac{1}{2} \]

Étape 2 : Multiplier les fractions simplifiées

\[ A = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1 \times 1}{3 \times 2} = \frac{1}{6} \]

2. Calcul de \(B = \frac{45}{25} \times \frac{35}{28}\)

Étape 1 : Simplifier les fractions

• Pour \(\frac{45}{25}\) : \[ \text{PGCD de } 45 \text{ et } 25 = 5 \] \[ \frac{45}{25} = \frac{45 \div 5}{25 \div 5} = \frac{9}{5} \]

• Pour \(\frac{35}{28}\) : \[ \text{PGCD de } 35 \text{ et } 28 = 7 \] \[ \frac{35}{28} = \frac{35 \div 7}{28 \div 7} = \frac{5}{4} \]

Étape 2 : Multiplier les fractions simplifiées

\[ B = \frac{9}{5} \times \frac{5}{4} = \frac{9 \times 5}{5 \times 4} = \frac{45}{20} \]

Étape 3 : Simplifier le résultat

\[ \frac{45}{20} = \frac{45 \div 5}{20 \div 5} = \frac{9}{4} \quad \text{ou} \quad 2\frac{1}{4} \]

3. Calcul de \(C = \frac{21}{35} \div \frac{14}{20}\)

Étape 1 : Simplifier les fractions

• Pour \(\frac{21}{35}\) : \[ \text{PGCD de } 21 \text{ et } 35 = 7 \] \[ \frac{21}{35} = \frac{21 \div 7}{35 \div 7} = \frac{3}{5} \]

• Pour \(\frac{14}{20}\) : \[ \text{PGCD de } 14 \text{ et } 20 = 2 \] \[ \frac{14}{20} = \frac{14 \div 2}{20 \div 2} = \frac{7}{10} \]

Étape 2 : Effectuer la division de fractions

Diviser par une fraction, c’est multiplier par son inverse.

\[ C = \frac{3}{5} \div \frac{7}{10} = \frac{3}{5} \times \frac{10}{7} = \frac{3 \times 10}{5 \times 7} = \frac{30}{35} \]

Étape 3 : Simplifier le résultat

\[ \frac{30}{35} = \frac{30 \div 5}{35 \div 5} = \frac{6}{7} \]

Résumé des résultats

\[ \boxed{ \begin{align*} A &= \frac{1}{6}, \\ B &= \frac{9}{4} \text{ ou } 2\frac{1}{4}, \\ C &= \frac{6}{7}. \end{align*} } \]