Exercice 59

1. Calculez \(\frac{3}{5} \cdot \frac{10}{6} - \frac{7}{6} \cdot 2 + \frac{4}{7} \div \frac{12}{21}\).

2. Calculez \(\left(-\frac{16}{5}\right) \cdot \left(\left(+\frac{9}{14}\right) + \left(-\frac{21}{36}\right)\right)\).

3. Calculez \(\frac{\frac{91}{13} - \frac{49}{7} + \frac{1}{2}}{\frac{11}{121} + \frac{3}{33} - \frac{4}{11}}\).

4. Calculez \(\left(\frac{1}{2} - 1\right)^{4}\).

5. Calculez \(\sqrt[3]{-\frac{27}{8}} + 0,\overline{3}\).

6. Calculez \(0,2 \cdot \left(-\frac{3}{4} - \left(-\frac{5}{12}\right)\right) \cdot \frac{5}{4} - 0,4\).

Réponse

Réponses :
1. –1/3
2. –4/21
3. –11/4
4. 1/16
5. –7/6
6. –29/60

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque exercice.

────────────────────────────── Exercice 1. On doit calculer (3/5) × (10/6) – (7/6) × 2 + (4/7) ÷ (12/21).

1. Calcul du premier terme :
     (3/5) × (10/6) = (3×10)/(5×6) = 30/30 = 1.

2. Calcul du deuxième terme :
     (7/6) × 2 = (7×2)/6 = 14/6.
     On simplifie en divisant par 2 le numérateur et le dénominateur : 14/6 = 7/3.

3. Calcul du troisième terme (division de deux fractions) :
     (4/7) ÷ (12/21) = (4/7) × (21/12).
     On observe que 21 et 7 se simplifient car 21 = 7×3, donc :
     (4/7) × (21/12) = (4×3)/(12) = 12/12 = 1.

4. On rassemble ensuite les résultats :
     1 – 7/3 + 1 = (1 + 1) – 7/3 = 2 – 7/3.
     Pour soustraire, on écrit 2 sous forme de fraction avec dénominateur 3 : 2 = 6/3.
     Ainsi, 6/3 – 7/3 = –1/3.

Réponse de l’exercice 1 : –1/3.

────────────────────────────── Exercice 2. On doit calculer (–16/5) × [(9/14) + (–21/36)].

1. On commence par simplifier l’expression à l’intérieur des parenthèses :
     (9/14) + (–21/36).
     Pour simplifier, on remarque que 21/36 se simplifie en divisant par 3 : 21/36 = 7/12.
     L’expression devient : 9/14 – 7/12.

2. Pour soustraire ces fractions, on cherche un dénominateur commun.
     Le plus petit commun multiple de 14 et 12 est 84.
     Convertissons :
      9/14 = (9×6)/(14×6) = 54/84,
      7/12 = (7×7)/(12×7) = 49/84.
     Donc, 54/84 – 49/84 = 5/84.

3. Remettons ensuite le produit de départ :
     (–16/5) × (5/84).
     On remarque que le 5 du numérateur et le 5 du dénominateur se simplifient :
     (–16/5) × (5/84) = –16/84.
     Simplifions en divisant numérateur et dénominateur par 2 : –16/84 = –8/42, puis encore par 2 pour obtenir –4/21.

Réponse de l’exercice 2 : –4/21.

────────────────────────────── Exercice 3. On doit calculer [(91/13) – (49/7) + (1/2)] ÷ [(11/121) + (3/33) – (4/11)].

1. Calculons le numérateur :
     91/13, 49/7 et 1/2.
     On remarque que 91/13 = 7 (puisque 13×7 = 91) et 49/7 = 7.
     Le numérateur devient donc : 7 – 7 + 1/2 = 0 + 1/2 = 1/2.

2. Calculons le dénominateur :
     Les fractions sont 11/121, 3/33 et 4/11.
     Simplifions chacune :
      11/121 = 1/11 (car 121 = 11×11),
      3/33 = 1/11 (car 33 = 3×11).
     Le dénominateur devient alors : 1/11 + 1/11 – 4/11 = (1 + 1 – 4)/11 = –2/11.

3. Effectuons la division :
     (1/2) ÷ (–2/11) = (1/2) × (11/(–2)) = 11/(–4) = –11/4.

Réponse de l’exercice 3 : –11/4.

────────────────────────────── Exercice 4. On doit calculer (1/2 – 1)^4.

1. Calculons l’intérieur de la parenthèse :
     1/2 – 1 = 1/2 – 2/2 = –1/2.

2. Élevons –1/2 à la puissance 4 :
     (–1/2)^4 = (–1)^4/(24) = 1/16
     (car (–1)^4 = 1 et 2^4 = 16).

Réponse de l’exercice 4 : 1/16.

────────────────────────────── Exercice 5. On doit calculer la somme de la racine cubique de (–27/8) et 0, 3 (avec 3 répété à l’inférieur).

1. Calcul de la racine cubique de (–27/8) :
     La racine cubique de –27 est –3 et celle de 8 est 2, donc
     ∛(–27/8) = –3/2.

2. 0, 3 avec le 3 répété (0,333…) correspond à la fraction 1/3.

3. On additionne ces deux résultats :
     –3/2 + 1/3.
     Pour additionner, on recherche le dénominateur commun qui est 6 :
     –3/2 = –9/6 et 1/3 = 2/6.
     Ainsi, –9/6 + 2/6 = –7/6.

Réponse de l’exercice 5 : –7/6.

────────────────────────────── Exercice 6. On doit calculer l’expression 0,2 × (–3/4 – (–5/12)) × (5/4) – 0,4.

1. D’abord, simplifions l’expression dans la première parenthèse :
     –3/4 – (–5/12) = –3/4 + 5/12.
     Pour additionner, on passe au même dénominateur (le PPCM de 4 et 12 est 12) :
     –3/4 = –9/12, donc
     –9/12 + 5/12 = –4/12 = –1/3.

2. Ensuite, multiplions par 0,2.
     On peut écrire 0,2 = 1/5.
     Ainsi, 1/5 × (–1/3) = –1/15.

3. Multiplions ce résultat par 5/4 :
     –1/15 × 5/4 = –5/(15×4) = –5/60.
     Simplifions : –5/60 = –1/12.

4. Enfin, soustrayons 0,4.
     0,4 s’écrit sous forme de fraction : 0,4 = 2/5.
     Nous avons alors : –1/12 – 2/5.
     Pour soustraire ces fractions, trouvons un dénominateur commun. Le PPCM de 12 et 5 est 60.
     –1/12 = –5/60 et 2/5 = 24/60.
     Donc, –5/60 – 24/60 = –29/60.

Réponse de l’exercice 6 : –29/60.

────────────────────────────── Récapitulatif des réponses :

1. –1/3
   
2. –4/21
   
3. –11/4
   
4. 1/16
   
5. –7/6
   
6. –29/60