\[\left(-\frac{2}{3}\right)^{2} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^{4} \cdot \left(-\frac{9}{2}\right)^{4} \cdot \left(\frac{1}{36}\right)\]
\[0,\overline{3} \cdot \frac{9}{25} \cdot \frac{75}{45} - \left(\frac{3}{5} - \frac{1}{5}\right)^{2}\]
\[-(-3) + \frac{(-3) - (-5)}{(-3) + (-5)} - (-5 + 2)^{2}\]
\[\frac{\left(-\frac{1}{3}\right) \cdot (-3) + (-1,2)}{\left(-\frac{2}{3}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)}\]
\[\left(\frac{1}{6}\right) \cdot \left(4 + \left(-\frac{2}{3}\right)\right)\]
\[\left(-\frac{60}{105}\right) - \left(-\frac{44}{198}\right) - 0,3\]
Réponses :
1. 1
2. 1/25
3. –25/4
4. 2/5
5. 5/9
6. –409/630
Nous allons détailler la résolution de chacune des expressions demandées.
────────────────────────────── Exercice 1
Simplifier :
(–2/3)² · (–2/3)⁴ · (–9/2)⁴ · (1/36)
Étape 1 : Regrouper les puissances ayant la même base (–2/3)
Les deux premiers facteurs ont la même base. On rappelle que pour a^m ·
a^n = a^(m+n) :
(–2/3)² · (–2/3)⁴ = (–2/3)^(2+4) = (–2/3)⁶
Note : L’exposant 6 est pair, donc (–2/3)⁶ = (2/3)⁶.
Étape 2 : Calculer (2/3)⁶
(2/3)⁶ = 2⁶/3⁶ = 64/729
Étape 3 : Calculer (–9/2)⁴
Ici, l’exposant 4 est pair. Ainsi, (–9/2)⁴ = (9/2)⁴ = 9⁴/2⁴
On a 9⁴ = 6561 et 2⁴ = 16, donc (–9/2)⁴ = 6561/16
Étape 4 : Multiplier avec (1/36)
L’expression devient :
(64/729) · (6561/16) · (1/36)
Étape 5 : Simplifier le produit
Multiplier d’abord (64/729) par (6561/16) :
(64 × 6561) / (729 × 16)
Observons que 64/16 se simplifie : 64 ÷ 16 = 4.
De plus, 6561 ÷ 729 = 9 (puisque 729 × 9 = 6561).
Ainsi, le produit devient 4 · 9 = 36.
Ensuite, on multiplie par 1/36 :
36 · (1/36) = 1
Réponse de l’exercice 1 : 1
────────────────────────────── Exercice 2
Calculer :
0,̅3 · (9/25) · (75/45) – (3/5 – 1/5)²
Étape 1 : Remplacer 0,̅3 par sa fraction
0,̅3 représente le nombre périodique 0,333… qui est égal à 1/3.
L’expression devient :
(1/3) · (9/25) · (75/45) – (3/5 – 1/5)²
Étape 2 : Simplifier le produit
On calcule (1/3) · (9/25) : (1/3) · (9/25) = 9/75 que l’on simplifie
en divisant numérateur et dénominateur par 3 : 9 ÷ 3 = 3 et 75 ÷ 3 = 25,
soit 3/25.
Ensuite, 75/45 se simplifie en divisant par 15 :
75 ÷ 15 = 5 et 45 ÷ 15 = 3, donc 75/45 = 5/3.
Le produit devient alors : (3/25) · (5/3)
Le 3 se simplifie : (3 · 5)/(25 · 3) = 5/25 = 1/5
Étape 3 : Calculer la parenthèse au carré
3/5 – 1/5 = 2/5
Son carré est : (2/5)² = 4/25
Étape 4 : Soustraire
L’expression devient : 1/5 – 4/25
Pour soustraire, on met au même dénominateur. Sachant que 1/5 = 5/25, on
a :
5/25 – 4/25 = 1/25
Réponse de l’exercice 2 : 1/25
────────────────────────────── Exercice 3
Évaluer l’expression :
–(–3) + [ (–3 – (–5)) / (–3 + (–5)) ] – (–5 + 2)²
Étape 1 : Simplifier –(–3)
–(–3) = 3
Étape 2 : Simplifier le quotient
Le numérateur : –3 – (–5) = –3 + 5 = 2
Le dénominateur : –3 + (–5) = –8
Ainsi, le quotient est 2/–8 = –1/4
Étape 3 : Calculer la dernière parenthèse
–5 + 2 = –3
Au carré, (–3)² = 9
Étape 4 : Mettre ensemble
L’expression est alors : 3 + (–1/4) – 9 = (3 – 9) – 1/4 = –6 –
1/4
Pour écrire sous forme de fraction, on écrit –6 = –24/4, d’où : –24/4
– 1/4 = –25/4
Réponse de l’exercice 3 : –25/4
────────────────────────────── Exercice 4
Simplifier :
[ (–1/3) · (–3) + (–1,2) ] / [ (–2/3) · (–1/2) · (–3/2) ]
Étape 1 : Calcul du numérateur
On calcule (–1/3) · (–3)
(–1/3) × (–3) = 3/3 = 1
Ensuite, ajouter –1,2 :
1 + (–1,2) = 1 – 1,2 = –0,2
Pour travailler en fraction, on écrit –0,2 = –2/10, ce qui se simplifie
en –1/5.
Étape 2 : Calcul du dénominateur
D’abord, (–2/3) × (–1/2) donne :
(2/6) = 1/3
Ensuite, (1/3) × (–3/2) = –3/(3×2) = –3/6 = –1/2
Étape 3 : Division des fractions
L’expression devient : (–1/5) ÷ (–1/2)
Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse : (–1/5)
× (–2/1) = 2/5
Le signe devient positif puisque (–)×(–) = (+)
Réponse de l’exercice 4 : 2/5
────────────────────────────── Exercice 5
Calculer :
(1/6) · (4 + (–2/3))
Étape 1 : Addition dans la parenthèse
On écrit 4 sous forme de fraction avec dénominateur 3 : 4 = 12/3
Alors : 12/3 + (–2/3) = (12 – 2)/3 = 10/3
Étape 2 : Multiplication
On multiplie : (1/6) × (10/3) = 10/(6×3) = 10/18
Simplifier 10/18 en divisant par 2 :
10 ÷ 2 = 5 et 18 ÷ 2 = 9, soit 5/9
Réponse de l’exercice 5 : 5/9
────────────────────────────── Exercice 6
Évaluer :
(–60/105) – (–44/198) – 0,3
Étape 1 : Simplifier (–60/105)
Divisons numérateur et dénominateur par 15 : 60 ÷ 15 = 4 et 105 ÷ 15 =
7 Donc, (–60/105) = –4/7
Étape 2 : Simplifier –(–44/198)
Un double signe négatif donne positif : –(–44/198) = +44/198
Simplifions 44/198 en divisant par 2 :
44/2 = 22, 198/2 = 99, soit 22/99
Puis, divisons par 11 :
22 ÷ 11 = 2 et 99 ÷ 11 = 9, donc 22/99 = 2/9
Étape 3 : Convertir 0,3 en fraction
0,3 = 3/10
L’expression est donc : –4/7 + 2/9 – 3/10
Étape 4 : Mettre sur un même dénominateur
Le dénominateur commun pour 7, 9 et 10 est 630 (car 7×9×10 = 630).
Convertissons chaque terme :
–4/7 = –4 × 90/630 = –360/630
2/9 = 2 × 70/630 = 140/630
3/10 = 3 × 63/630 = 189/630
Ainsi : –360/630 + 140/630 – 189/630 = (–360 + 140 – 189)/630
Calculons le numérateur :
140 – 189 = –49
–360 + (–49) = –409
On obtient : –409/630
Vérifions si la fraction se simplifie : 409 ne possède pas de
diviseur commun avec 630.
La fraction reste donc sous cette forme.
Réponse de l’exercice 6 : –409/630
────────────────────────────── Récapitulatif des réponses :