Exercice 57

1. Calculez la somme suivante : \(\frac{5}{12} + \frac{1}{3} + \frac{17}{4}\).

2. Calculez l’expression suivante : \(-0{,}4 + (-1) - \frac{9}{4}\).

3. Calculez la somme suivante : \(\frac{11}{18} - \frac{5}{42} - \frac{8}{63}\).

4. Calculez le produit suivant : \(\left( -\frac{48}{72} \right) \times \left( -\frac{60}{75} \right)\).

5. Calculez l’expression suivante : \(\left( -\frac{3}{14} \right) - \left( \frac{3}{7} \right) \times \left( -\frac{2}{3} \right)\).

6. Calculez le carré de l’expression : \(\left( \frac{1}{4} - \frac{5}{2} \right)^2\).

Réponse

Réponses : 5 ; –73/20 ; 23/63 ; 8/15 ; 1/14 ; 81/16.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque exercice :

────────────────────────────── Exercice 1 : Calculer 5/12 + 1/3 + 17/4

1. Trouvons un dénominateur commun pour les trois fractions.
     Les dénominateurs sont 12, 3 et 4. Leur plus petit commun multiple est 12.

2. Transformons chaque fraction en une fraction au dénominateur 12 :
     • 5/12 reste inchangé.
     • 1/3 se transforme en multipliant numérateur et dénominateur par 4 : 1 × 4 / 3 × 4 = 4/12.
     • 17/4 se transforme en multipliant numérateur et dénominateur par 3 : 17 × 3 / 4 × 3 = 51/12.

3. Additionnons les fractions :
     (5 + 4 + 51) / 12 = 60/12.

4. Simplifions la fraction :
     60/12 = 5.

Réponse de l’exercice 1 : 5

────────────────────────────── Exercice 2 : Calculer -0,4 + (-1) - 9/4

1. Convertissons le nombre décimal -0,4 en fraction.
     -0,4 = -4/10 = -2/5 (après simplification en divisant numérateur et dénominateur par 2).

2. Réécrivons l’expression en fractions :
     (-2/5) + (-1) - (9/4).

3. Pour additionner ces nombres, cherchons un dénominateur commun.
     Les dénominateurs sont 5, 1 (pour -1, nous écrirons -1 comme une fraction) et 4. Le plus petit commun multiple de 5 et 4 est 20. Pour -1, on peut écrire -1 = -20/20.

4. Convertissons chaque terme au dénominateur 20 :
     • -2/5 = -2 × 4 / (5 × 4) = -8/20.
     • -1 = -20/20.
     • 9/4 = 9 × 5 / (4 × 5) = 45/20, donc -9/4 = -45/20.

5. Additionnons les fractions :
     (-8/20) + (-20/20) + (-45/20) = (-8 - 20 - 45) / 20 = -73/20.

Réponse de l’exercice 2 : -73/20

────────────────────────────── Exercice 3 : Calculer 11/18 - 5/42 - 8/63

1. Identifions les dénominateurs : 18, 42 et 63.
     Pour les simplifier, factorisons :
      18 = 2 × 3²
      42 = 2 × 3 × 7
      63 = 3² × 7

2. Le plus petit commun multiple est 2 × 3² × 7 = 126.

3. Convertissons chaque fraction au dénominateur 126 :
     • 11/18 = 11 × 7 / (18 × 7) = 77/126.
     • 5/42 = 5 × 3 / (42 × 3) = 15/126, donc -5/42 = -15/126.
     • 8/63 = 8 × 2 / (63 × 2) = 16/126, donc -8/63 = -16/126.

4. Effectuons l’opération :
     77/126 - 15/126 - 16/126 = (77 - 15 - 16) / 126 = 46/126.

5. Simplifions la fraction en divisant numérateur et dénominateur par 2 :
     46 ÷ 2 = 23 et 126 ÷ 2 = 63, soit 23/63.

Réponse de l’exercice 3 : 23/63

────────────────────────────── Exercice 4 : Calculer (–48/72) × (–60/75)

1. Simplifions chaque fraction individuellement :
     • Pour –48/72, divisons numérateur et dénominateur par 24 :
      48 ÷ 24 = 2 et 72 ÷ 24 = 3, donc –48/72 = –2/3.
     • Pour –60/75, divisons par 15 :
      60 ÷ 15 = 4 et 75 ÷ 15 = 5, donc –60/75 = –4/5.

2. Le produit de deux nombres négatifs est positif.
     Calculons : (–2/3) × (–4/5) = (2 × 4) / (3 × 5) = 8/15.

Réponse de l’exercice 4 : 8/15

────────────────────────────── Exercice 5 : Calculer (–3/14) – (3/7) × (–2/3)

1. D’abord, calculons le produit (3/7) × (–2/3) :
     (3 × –2) / (7 × 3) = –6/21.
     Simplifions -6/21 en divisant par 3 :
     -6 ÷ 3 = -2 et 21 ÷ 3 = 7, donc -6/21 = -2/7.

2. Remplaçons dans l’expression :
     (–3/14) – (–2/7) = –3/14 + 2/7.

3. Pour additionner, mettons au même dénominateur :
     Le dénominateur 14 convient car 2/7 = (2 × 2)/(7 × 2) = 4/14.

4. Additionnons :
     –3/14 + 4/14 = (–3 + 4)/14 = 1/14.

Réponse de l’exercice 5 : 1/14

────────────────────────────── Exercice 6 : Calculer le carré de (1/4 – 5/2)

1. Calculons d’abord l’expression à l’intérieur des parenthèses.
     Pour soustraire 5/2 de 1/4, mettons ces fractions au même dénominateur :
     Le dénominateur commun est 4.
      • 1/4 reste 1/4.
      • 5/2 se transforme en multipliant numérateur et dénominateur par 2 : 5 × 2 / (2 × 2) = 10/4.

2. Effectuons la soustraction :
     1/4 – 10/4 = (1 – 10)/4 = –9/4.

3. Calculons le carré de ce résultat :
     (–9/4)² = (9²)/(4²) = 81/16.

Réponse de l’exercice 6 : 81/16

────────────────────────────── Récapitulatif des réponses :
1. 5
2. –73/20
3. 23/63
4. 8/15
5. 1/14
6. 81/16