Exercice 56

Calculer la valeur de l’expression suivante et donner le résultat sous forme de fraction irréductible ou de nombre entier :

\[ \frac{a + \frac{1}{2}}{a - \frac{1}{2}} - \frac{a}{b} \]

  1. Pour \(a = -\frac{1}{2}\) et \(b = 0{,}2\)

  2. Pour \(a = \frac{4}{9}\) et \(b = \frac{1}{36}\)

  3. Pour \(a = -\frac{3}{4}\) et \(b = \frac{1}{5}\)

  4. Pour \(a = -\frac{5}{32}\)

  5. Pour \(a = -0,\overline{3}\) et \(b = \frac{5}{6}\)

  6. Pour \(a = 0,2\) et \(b = -\frac{1}{10}\)

Réponse

Les résultats de l’expression sont :

  1. Pour \(a = -\frac{1}{2}\) et \(b = 0{,}2\) : \(\frac{5}{2}\)
  2. Pour \(a = \frac{4}{9}\) et \(b = \frac{1}{36}\) : \(-33\)
  3. Pour \(a = -\frac{3}{4}\) et \(b = \frac{1}{5}\) : \(\frac{79}{20}\)
  4. Pour \(a = -\frac{5}{32}\) : Indéterminé sans \(b\)
  5. Pour \(a = -\frac{1}{3}\) et \(b = \frac{5}{6}\) : \(\frac{1}{5}\)
  6. Pour \(a = 0{,}2\) et \(b = -\frac{1}{10}\) : \(-\frac{1}{3}\)

Corrigé détaillé

Correction détaillée

Nous devons calculer la valeur de l’expression suivante pour différents ensembles de valeurs de \(a\) et \(b\) :

\[ \frac{a + \frac{1}{2}}{a - \frac{1}{2}} - \frac{a}{b} \]

Pour chaque cas, nous allons substituer les valeurs de \(a\) et \(b\) dans l’expression, effectuer les opérations nécessaires et simplifier le résultat.

1) Pour \(a = -\frac{1}{2}\) et \(b = 0{,}2\)

Étape 1 : Remplacer \(a\) et \(b\) dans l’expression

Substituons \(a = -\frac{1}{2}\) et \(b = 0{,}2\) dans l’expression :

\[ \frac{-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}{-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} - \frac{-\frac{1}{2}}{0{,}2} \]

Étape 2 : Simplifier chaque partie

  1. Calculons le numérateur de la première fraction :

\[ -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0 \]

  1. Calculons le dénominateur de la première fraction :

\[ -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = -1 \]

Donc, la première fraction devient :

\[ \frac{0}{-1} = 0 \]

  1. Calculons la seconde fraction :

\[ \frac{-\frac{1}{2}}{0{,}2} = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{2}{10}} = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{5}} = -\frac{1}{2} \times \frac{5}{1} = -\frac{5}{2} \]

Étape 3 : Soustraire les deux résultats

\[ 0 - \left(-\frac{5}{2}\right) = 0 + \frac{5}{2} = \frac{5}{2} \]

Résultat final :

\[ \frac{5}{2} \]

2) Pour \(a = \frac{4}{9}\) et \(b = \frac{1}{36}\)

Étape 1 : Remplacer \(a\) et \(b\) dans l’expression

\[ \frac{\frac{4}{9} + \frac{1}{2}}{\frac{4}{9} - \frac{1}{2}} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{1}{36}} \]

Étape 2 : Simplifier chaque partie

  1. Calculons le numérateur de la première fraction :

\[ \frac{4}{9} + \frac{1}{2} = \frac{8}{18} + \frac{9}{18} = \frac{17}{18} \]

  1. Calculons le dénominateur de la première fraction :

\[ \frac{4}{9} - \frac{1}{2} = \frac{8}{18} - \frac{9}{18} = -\frac{1}{18} \]

Donc, la première fraction devient :

\[ \frac{\frac{17}{18}}{-\frac{1}{18}} = -17 \]

  1. Calculons la seconde fraction :

\[ \frac{\frac{4}{9}}{\frac{1}{36}} = \frac{4}{9} \times \frac{36}{1} = 4 \times 4 = 16 \]

Étape 3 : Soustraire les deux résultats

\[ -17 - 16 = -33 \]

Résultat final :

\[ -33 \]

3) Pour \(a = -\frac{3}{4}\) et \(b = \frac{1}{5}\)

Étape 1 : Remplacer \(a\) et \(b\) dans l’expression

\[ \frac{-\frac{3}{4} + \frac{1}{2}}{-\frac{3}{4} - \frac{1}{2}} - \frac{-\frac{3}{4}}{\frac{1}{5}} \]

Étape 2 : Simplifier chaque partie

  1. Calculons le numérateur de la première fraction :

\[ -\frac{3}{4} + \frac{1}{2} = -\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = -\frac{1}{4} \]

  1. Calculons le dénominateur de la première fraction :

\[ -\frac{3}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{3}{4} - \frac{2}{4} = -\frac{5}{4} \]

Donc, la première fraction devient :

\[ \frac{-\frac{1}{4}}{-\frac{5}{4}} = \frac{1}{5} \]

  1. Calculons la seconde fraction :

\[ \frac{-\frac{3}{4}}{\frac{1}{5}} = -\frac{3}{4} \times \frac{5}{1} = -\frac{15}{4} \]

Étape 3 : Soustraire les deux résultats

\[ \frac{1}{5} - \left(-\frac{15}{4}\right) = \frac{1}{5} + \frac{15}{4} \]

Pour additionner ces fractions, trouvons un dénominateur commun, qui est 20 :

\[ \frac{4}{20} + \frac{75}{20} = \frac{79}{20} \]

Résultat final :

\[ \frac{79}{20} \]

4) Pour \(a = -\frac{5}{32}\)

Remarque : Dans ce cas, la valeur de \(b\) n’est pas fournie. Sans la valeur de \(b\), l’expression ne peut pas être entièrement évaluée car elle contient \(\frac{a}{b}\).

Cependant, si nous considérons que \(b\) n’est pas utilisé ou demande utilisé, ce qui semble plus probable étant donné que la question ne fournit pas de valeur pour \(b\), nous devons revoir l’expression initiale.

Si la question est de calculer l’expression uniquement en fonction de \(a\), alors \(b\) doit être déterminé ou l’expression est partiellement évaluée.

Supposons que \(b\) soit donné ou que l’expression nécessite uniquement de simplifier en fonction de \(a\).

Pour cette correction, nous devons souligner que sans la valeur de \(b\), nous ne pouvons pas obtenir un résultat numérique.

5) Pour \(a = -0,\overline{3}\) et \(b = \frac{5}{6}\)

Étape 1 : Interpréter \(a = -0,\overline{3}\)

\(a = -0,\overline{3}\) signifie que \(a = -\frac{1}{3}\).

Étape 2 : Remplacer \(a\) et \(b\) dans l’expression

\[ \frac{-\frac{1}{3} + \frac{1}{2}}{-\frac{1}{3} - \frac{1}{2}} - \frac{-\frac{1}{3}}{\frac{5}{6}} \]

Étape 3 : Simplifier chaque partie

  1. Calculons le numérateur de la première fraction :

\[ -\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = -\frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{1}{6} \]

  1. Calculons le dénominateur de la première fraction :

\[ -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{2}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{5}{6} \]

Donc, la première fraction devient :

\[ \frac{\frac{1}{6}}{-\frac{5}{6}} = -\frac{1}{5} \]

  1. Calculons la seconde fraction :

\[ \frac{-\frac{1}{3}}{\frac{5}{6}} = -\frac{1}{3} \times \frac{6}{5} = -\frac{2}{5} \]

Étape 4 : Soustraire les deux résultats

\[ -\frac{1}{5} - \left(-\frac{2}{5}\right) = -\frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{1}{5} \]

Résultat final :

\[ \frac{1}{5} \]

6) Pour \(a = 0,2\) et \(b = -\frac{1}{10}\)

Étape 1 : Convertir les valeurs décimales en fractions

  1. \(a = 0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}\)
  2. \(b = -\frac{1}{10}\)

Étape 2 : Remplacer \(a\) et \(b\) dans l’expression

\[ \frac{\frac{1}{5} + \frac{1}{2}}{\frac{1}{5} - \frac{1}{2}} - \frac{\frac{1}{5}}{-\frac{1}{10}} \]

Étape 3 : Simplifier chaque partie

  1. Calculons le numérateur de la première fraction :

\[ \frac{1}{5} + \frac{1}{2} = \frac{2}{10} + \frac{5}{10} = \frac{7}{10} \]

  1. Calculons le dénominateur de la première fraction :

\[ \frac{1}{5} - \frac{1}{2} = \frac{2}{10} - \frac{5}{10} = -\frac{3}{10} \]

Donc, la première fraction devient :

\[ \frac{\frac{7}{10}}{-\frac{3}{10}} = -\frac{7}{3} \]

  1. Calculons la seconde fraction :

\[ \frac{\frac{1}{5}}{-\frac{1}{10}} = \frac{1}{5} \times \left(-\frac{10}{1}\right) = -2 \]

Étape 4 : Soustraire les deux résultats

\[ -\frac{7}{3} - (-2) = -\frac{7}{3} + 2 = -\frac{7}{3} + \frac{6}{3} = -\frac{1}{3} \]

Résultat final :

\[ -\frac{1}{3} \]

Récapitulatif des résultats

  1. Pour \(a = -\frac{1}{2}\) et \(b = 0{,}2\) : \(\frac{5}{2}\)
  2. Pour \(a = \frac{4}{9}\) et \(b = \frac{1}{36}\) : \(-33\)
  3. Pour \(a = -\frac{3}{4}\) et \(b = \frac{1}{5}\) : \(\frac{79}{20}\)
  4. Pour \(a = -\frac{5}{32}\) : Impossible à déterminer sans la valeur de \(b\)
  5. Pour \(a = -0,\overline{3}\) et \(b = \frac{5}{6}\) : \(\frac{1}{5}\)
  6. Pour \(a = 0,2\) et \(b = -\frac{1}{10}\) : \(-\frac{1}{3}\)
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