Exercice 55

Calculer la valeur de chacune des expressions suivantes lorsque \(a = \frac{3}{2}\) et \(b = \frac{1}{4}\). Donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible ou d’un nombre entier :

\(a - b \cdot (a - b)\)
\(a \cdot (-b) - (a b) - (-a) \cdot (-b)\)
\(a b^{2} - (a b)^{2} + (a - b)^{2}\)
\(\frac{(a - b)^{2}}{a^{2} - b^{2}}\)
\(\left( a - b \cdot \frac{1}{a} \right) : \left( \frac{1}{a - b} \right)\)
\(\frac{a + 1}{\frac{b}{a} - b^{2}}\)

Réponse

Résumé des résultats :

\(a - b \cdot (a - b) = \frac{19}{16}\)
\(a \cdot (-b) - (a b) - (-a) \cdot (-b) = -\frac{9}{8}\)
\(a b^{2} - (a b)^{2} + (a - b)^{2} = \frac{97}{64}\)
\(\frac{(a - b)^{2}}{a^{2} - b^{2}} = \frac{5}{7}\)
\(\left( a - b \cdot \frac{1}{a} \right) : \left( \frac{1}{a - b} \right) = \frac{5}{3}\)
\(\frac{a + 1}{\frac{b}{a} - b^{2}} = 24\)

Corrigé détaillé

Correction des exercices

Calculons la valeur de chacune des expressions données lorsque \(a = \frac{3}{2}\) et \(b = \frac{1}{4}\).

1) \(a - b \cdot (a - b)\)

Étapes de calcul :

Calculer \(a - b\) : \[ a - b = \frac{3}{2} - \frac{1}{4} = \frac{6}{4} - \frac{1}{4} = \frac{5}{4} \]
Multiplier \(b\) par \(a - b\) : \[ b \cdot (a - b) = \frac{1}{4} \times \frac{5}{4} = \frac{5}{16} \]
Soustraire le résultat obtenu de \(a\) : \[ a - b \cdot (a - b) = \frac{3}{2} - \frac{5}{16} \] Pour effectuer la soustraction, il faut les mettre au même dénominateur : \[ \frac{3}{2} = \frac{24}{16} \] Donc : \[ \frac{24}{16} - \frac{5}{16} = \frac{19}{16} \]

Résultat final : \[ a - b \cdot (a - b) = \frac{19}{16} \]

2) \(a \cdot (-b) - (a b) - (-a) \cdot (-b)\)

Étapes de calcul :

Calculer chaque terme séparément :
- \(a \cdot (-b) = \frac{3}{2} \times \left(-\frac{1}{4}\right) = -\frac{3}{8}\)
- \(a b = \frac{3}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{8}\)
- \((-a) \cdot (-b) = \left(-\frac{3}{2}\right) \times \left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{3}{8}\)
Remplacer dans l’expression : \[ -\frac{3}{8} - \frac{3}{8} - \frac{3}{8} \]
Additionner les termes : \[ -\frac{3}{8} - \frac{3}{8} - \frac{3}{8} = -\frac{9}{8} \]

Résultat final : \[ a \cdot (-b) - (a b) - (-a) \cdot (-b) = -\frac{9}{8} \]

3) \(a b^{2} - (a b)^{2} + (a - b)^{2}\)

Étapes de calcul :

Calculer \(b^{2}\) : \[ b^{2} = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16} \]
Calculer \(a b^{2}\) : \[ a b^{2} = \frac{3}{2} \times \frac{1}{16} = \frac{3}{32} \]
Calculer \(a b\) : \[ a b = \frac{3}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{8} \]
Calculer \((a b)^{2}\) : \[ (a b)^{2} = \left(\frac{3}{8}\right)^2 = \frac{9}{64} \]
Calculer \(a - b\) : \[ a - b = \frac{3}{2} - \frac{1}{4} = \frac{5}{4} \]
Calculer \((a - b)^{2}\) : \[ \left(\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{25}{16} \]
Assembler l’expression complète : \[ \frac{3}{32} - \frac{9}{64} + \frac{25}{16} \] Mettre au même dénominateur (64) : \[ \frac{6}{64} - \frac{9}{64} + \frac{100}{64} = \frac{97}{64} \]

Résultat final : \[ a b^{2} - (a b)^{2} + (a - b)^{2} = \frac{97}{64} \]

4) \(\frac{(a - b)^{2}}{a^{2} - b^{2}}\)

Étapes de calcul :

Calculer \(a - b\) : \[ a - b = \frac{3}{2} - \frac{1}{4} = \frac{5}{4} \]
Calculer \((a - b)^{2}\) : \[ \left(\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{25}{16} \]
Calculer \(a^{2}\) et \(b^{2}\) : \[ a^{2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}, \quad b^{2} = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16} \]
Calculer \(a^{2} - b^{2}\) : \[ \frac{9}{4} - \frac{1}{16} = \frac{36}{16} - \frac{1}{16} = \frac{35}{16} \]
Assembler l’expression complète : \[ \frac{\frac{25}{16}}{\frac{35}{16}} = \frac{25}{35} = \frac{5}{7} \]

Résultat final : \[ \frac{(a - b)^{2}}{a^{2} - b^{2}} = \frac{5}{7} \]

5) \(\left( a - b \cdot \frac{1}{a} \right) : \left( \frac{1}{a - b} \right)\)

Étapes de calcul :

Calculer \(b \cdot \frac{1}{a}\) : \[ b \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{6} \]
Calculer \(a - b \cdot \frac{1}{a}\) : \[ a - \frac{1}{6} = \frac{3}{2} - \frac{1}{6} = \frac{9}{6} - \frac{1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \]
Calculer \(\frac{1}{a - b}\) : \[ a - b = \frac{3}{2} - \frac{1}{4} = \frac{5}{4} \Rightarrow \frac{1}{a - b} = \frac{4}{5} \]
Effectuer la division : \[ \left( a - b \cdot \frac{1}{a} \right) : \left( \frac{1}{a - b} \right) = \frac{4}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{4}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{5}{3} \]

Résultat final : \[ \left( a - b \cdot \frac{1}{a} \right) : \left( \frac{1}{a - b} \right) = \frac{5}{3} \]

6) \(\frac{a + 1}{\frac{b}{a} - b^{2}}\)

Étapes de calcul :

Calculer \(a + 1\) : \[ a + 1 = \frac{3}{2} + 1 = \frac{3}{2} + \frac{2}{2} = \frac{5}{2} \]
Calculer \(\frac{b}{a}\) : \[ \frac{b}{a} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{6} \]
Calculer \(b^{2}\) : \[ b^{2} = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16} \]
Calculer \(\frac{b}{a} - b^{2}\) : \[ \frac{1}{6} - \frac{1}{16} = \frac{8}{48} - \frac{3}{48} = \frac{5}{48} \]
Assembler l’expression complète : \[ \frac{a + 1}{\frac{b}{a} - b^{2}} = \frac{\frac{5}{2}}{\frac{5}{48}} = \frac{5}{2} \times \frac{48}{5} = \frac{240}{10} = 24 \]

Résultat final : \[ \frac{a + 1}{\frac{b}{a} - b^{2}} = 24 \]