7) Calculez :
\[ \left(\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{9}} \cdot \sqrt{\frac{4}{5}}\right) \div \left(\sqrt{\frac{1}{4}} + \sqrt{\frac{1}{9}}\right) \]
8) Calculez :
\[ \sqrt{8} \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{1}{\sqrt{32}}\right) \]
9) Calculez :
\[ (1{,}25)^{2} - \sqrt{12{,}5} \cdot \sqrt{0{,}125} \]
10) Calculez :
\[ \sqrt{\frac{16}{81}} + \frac{5}{6} \div \left(\frac{5}{27} \cdot \sqrt{\frac{27}{12}}\right) \]
11) Calculez :
\[ \frac{1}{3} \cdot \sqrt{8 \cdot 27} - (2{,}5)^{2} \div 100 \]
12) Calculez :
\[ \sqrt{2} \cdot (\sqrt{18} + \sqrt{32}) \]
13) Calculez :
\[ \sqrt{\frac{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{6}{5}}{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6}}} \]
Énoncé : \[ \left(\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{9}} \cdot \sqrt{\frac{4}{5}}\right) \div \left(\sqrt{\frac{1}{4}} + \sqrt{\frac{1}{9}}\right) \]
Étape 1 : Calculer l’expression dans le numérateur
Commencez par simplifier l’expression sous la première racine carrée :
\[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} = \frac{9 - 4}{36} = \frac{5}{36} \]
Ensuite, calculez la racine carrée de ce résultat :
\[ \sqrt{\frac{5}{36}} = \frac{\sqrt{5}}{6} \]
Maintenant, multipliez ce résultat par la deuxième racine carrée :
\[ \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \]
Donc, le numérateur devient :
\[ \frac{\sqrt{5}}{6} \times \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
Étape 2 : Calculer l’expression dans le dénominateur
Simplifiez chaque racine carrée individuellement :
\[ \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \quad \text{et} \quad \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3} \]
Additionnez les deux résultats :
\[ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3 + 2}{6} = \frac{5}{6} \]
Étape 3 : Effectuer la division
Vous avez maintenant :
\[ \frac{1}{3} \div \frac{5}{6} = \frac{1}{3} \times \frac{6}{5} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} \]
Réponse finale :
\[ \frac{2}{5} \]
Énoncé : \[ \sqrt{8} \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{1}{\sqrt{32}}\right) \]
Étape 1 : Simplifier les racines carrées
Commencez par simplifier \(\sqrt{8}\) et \(\sqrt{32}\) :
\[ \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2} \]
\[ \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2} \]
Étape 2 : Remplacer dans l’expression
L’expression devient :
\[ 2\sqrt{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{1}{4\sqrt{2}}\right) \]
Étape 3 : Simplifier l’intérieur des parenthèses
Simplifions chaque terme séparément :
\[ \frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{\sqrt{2}}{3} \]
\[ \frac{1}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4 \times 2} = \frac{\sqrt{2}}{8} \]
Additionnons les deux termes :
\[ \frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{\sqrt{2}}{8} = \sqrt{2} \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{8} \right) = \sqrt{2} \left( \frac{8 + 3}{24} \right) = \sqrt{2} \left( \frac{11}{24} \right) = \frac{11\sqrt{2}}{24} \]
Étape 4 : Multiplier par \(2\sqrt{2}\)
\[ 2\sqrt{2} \times \frac{11\sqrt{2}}{24} = 2 \times \frac{11 \times 2}{24} = 2 \times \frac{22}{24} = 2 \times \frac{11}{12} = \frac{22}{12} = \frac{11}{6} \]
Réponse finale :
\[ \frac{11}{6} \]
Énoncé : \[ (1{,}25)^{2} - \sqrt{12{,}5} \cdot \sqrt{0{,}125} \]
Étape 1 : Calculer \((1{,}25)^{2}\)
\[ 1{,}25 \times 1{,}25 = 1{,}5625 \]
Étape 2 : Simplifier les racines carrées
Simplifions les nombres sous les racines :
\[ 12{,}5 = \frac{125}{10} = \frac{25 \times 5}{10} = \frac{25}{2} \quad \Rightarrow \quad \sqrt{12{,}5} = \sqrt{\frac{25}{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \]
\[ 0{,}125 = \frac{1}{8} \quad \Rightarrow \quad \sqrt{0{,}125} = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} \]
Étape 3 : Multiplier les racines simplifiées
\[ \frac{5\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{5 \times 2}{8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1{,}25 \]
Étape 4 : Soustraire les résultats
\[ 1{,}5625 - 1{,}25 = 0{,}3125 \]
Réponse finale :
\[ 0{,}3125 \]
Énoncé : \[ \sqrt{\frac{16}{81}} + \frac{5}{6} \div \left(\frac{5}{27} \cdot \sqrt{\frac{27}{12}}\right) \]
Étape 1 : Simplifier \(\sqrt{\frac{16}{81}}\)
\[ \sqrt{\frac{16}{81}} = \frac{4}{9} \]
Étape 2 : Simplifier \(\sqrt{\frac{27}{12}}\)
\[ \sqrt{\frac{27}{12}} = \sqrt{\frac{9 \times 3}{4 \times 3}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} \]
Étape 3 : Calculer le dénominateur de la division
\[ \frac{5}{27} \times \frac{3}{2} = \frac{15}{54} = \frac{5}{18} \]
Étape 4 : Effectuer la division
\[ \frac{5}{6} \div \frac{5}{18} = \frac{5}{6} \times \frac{18}{5} = \frac{18}{6} = 3 \]
Étape 5 : Additionner les deux résultats
\[ \frac{4}{9} + 3 = \frac{4}{9} + \frac{27}{9} = \frac{31}{9} \approx 3{,}444... \]
Réponse finale :
\[ \frac{31}{9} \]
Énoncé : \[ \frac{1}{3} \cdot \sqrt{8 \cdot 27} - (2{,}5)^{2} \div 100 \]
Étape 1 : Calculer \(\sqrt{8 \cdot 27}\)
\[ 8 \times 27 = 216 \]
\[ \sqrt{216} = \sqrt{36 \times 6} = 6\sqrt{6} \]
Étape 2 : Multiplier par \(\frac{1}{3}\)
\[ \frac{1}{3} \times 6\sqrt{6} = 2\sqrt{6} \]
Étape 3 : Calculer \((2{,}5)^{2}\)
\[ 2{,}5 \times 2{,}5 = 6{,}25 \]
Étape 4 : Diviser par 100
\[ 6{,}25 \div 100 = 0{,}0625 \]
Étape 5 : Soustraire les deux résultats
\[ 2\sqrt{6} - 0{,}0625 \]
Approximation (si nécessaire) :
Si l’on souhaite donner une valeur approchée, connaissant que \(\sqrt{6} \approx 2{,}449\) :
\[ 2 \times 2{,}449 = 4{,}898 \]
\[ 4{,}898 - 0{,}0625 = 4{,}8355 \]
Réponse finale :
\[ 2\sqrt{6} - 0{,}0625 \quad \text{ou} \quad \approx 4{,}8355 \]
Énoncé : \[ \sqrt{2} \cdot (\sqrt{18} + \sqrt{32}) \]
Étape 1 : Simplifier les racines carrées
\[ \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2} \]
\[ \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2} \]
Étape 2 : Additionner les deux racines simplifiées
\[ 3\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = 7\sqrt{2} \]
Étape 3 : Multiplier par \(\sqrt{2}\)
\[ \sqrt{2} \times 7\sqrt{2} = 7 \times 2 = 14 \]
Réponse finale :
\[ 14 \]
Énoncé : \[ \sqrt{\frac{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{6}{5}}{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6}}} \]
Étape 1 : Simplifier le numérateur et le dénominateur
Calculons le numérateur :
\[ \frac{3}{2} \times \frac{4}{3} \times \frac{6}{5} = \frac{3 \times 4 \times 6}{2 \times 3 \times 5} = \frac{72}{30} = \frac{72 \div 6}{30 \div 6} = \frac{12}{5} \]
Calculons le dénominateur :
\[ \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{5}{6} = \frac{2 \times 3 \times 5}{3 \times 4 \times 6} = \frac{30}{72} = \frac{30 \div 6}{72 \div 6} = \frac{5}{12} \]
Étape 2 : Diviser le numérateur par le dénominateur
\[ \frac{\frac{12}{5}}{\frac{5}{12}} = \frac{12}{5} \times \frac{12}{5} = \frac{144}{25} \]
Étape 3 : Calculer la racine carrée
\[ \sqrt{\frac{144}{25}} = \frac{\sqrt{144}}{\sqrt{25}} = \frac{12}{5} \]
Réponse finale :
\[ \frac{12}{5} \]