Exercice 53

1. \(\frac{\frac{2}{3} \cdot\left(1+\frac{1}{2}\right)^{2}}{\frac{5}{3}-0,75}\)
   
2. \(\frac{0,1}{0,75 \cdot\left(\frac{1}{2}-3\right)}\)
   
3. \(\frac{\frac{3}{2}-\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{10}-\frac{2}{5}}{\left(\frac{3}{2}-\frac{5}{6}\right) \cdot \frac{3}{10}-\frac{2}{5}}\)
   
4. \(\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)^{3}+\frac{5}{12} \cdot\left(-\frac{3}{2}\right)}{4 \div \frac{16}{5}-\frac{5}{2}}\)
   
5. \(\frac{\left(+\frac{4}{5}\right)+\left(+\frac{2}{5}\right) \cdot\left(-\frac{2}{3}\right)-\left(-\frac{1}{6}\right)}{0,8 \cdot\left(\frac{3}{5}-1\right)}\)
   
6. \(\frac{\left(-\frac{2}{3}\right)+\left(-\frac{1}{4}\right)}{\left(-\frac{2}{3}\right) \cdot\left(-\frac{1}{4}\right)} \cdot\left(-\frac{2}{3}\right)+\left(-\frac{1}{4}\right)\)

Réponse

Réponses : 1) 18/11  2) –4/75  3) –17/4  4) 3/5  5) –35/16  6) 41/12

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée étape par étape pour chacune des expressions :

────────────────────────────── Exercice 1 – Expression :   ( (2/3) · (1 + 1/2)² ) ÷ (5/3 – 0,75 )

1. Calcul du numérateur :  a) On calcule d’abord (1 + 1/2) :
     1 + 1/2 = 2/2 + 1/2 = 3/2.  b) On élève (3/2) au carré :
     (3/2)² = 9/4.  c) On multiplie par 2/3 :
     (2/3) · (9/4) = 18/12 = 3/2.

2. Calcul du dénominateur :  a) Remarquez que 0,75 s’écrit sous forme fractionnaire :
     0,75 = 3/4.  b) On effectue la soustraction :
     5/3 – 3/4.
     Pour soustraire, on trouve un dénominateur commun (ici 12) :
     5/3 = 20/12 et 3/4 = 9/12.
     Donc, 20/12 – 9/12 = 11/12.

3. Division des deux résultats :   L’expression devient : (3/2) ÷ (11/12) = (3/2) × (12/11).
     Calcul : (3 × 12) / (2 × 11) = 36/22 = 18/11.

Réponse de l’exercice 1 : 18/11.

────────────────────────────── Exercice 2 – Expression :   0,1 ÷ [0,75 · (1/2 – 3)]

1. Conversion des nombres décimaux en fractions :   0,1 = 1/10 et 0,75 = 3/4.

2. Calcul de la parenthèse :   1/2 – 3 = 1/2 – 3/1.
     Pour soustraire, on écrit 3 sous forme de fraction avec dénominateur 2 :
     3 = 6/2, donc 1/2 – 6/2 = –5/2.

3. Calcul du dénominateur complet :   0,75 · (1/2 – 3) = (3/4) · (–5/2) = –15/8.

4. Division :   L’expression devient : (1/10) ÷ (–15/8) = (1/10) × (8/(–15)).
     Calcul : 8/(10 × 15) avec le signe négatif = –8/150
     Simplifiez en divisant par 2 : –4/75.

Réponse de l’exercice 2 : –4/75.

────────────────────────────── Exercice 3 – Expression :   [3/2 – (5/6 × 3/10) – 2/5] ÷ {[(3/2 – 5/6) × 3/10] – 2/5}

1. Calcul du numérateur :  a) Calculez le produit :
     5/6 × 3/10 = 15/60 = 1/4.  b) On écrit :
     3/2 – 1/4 – 2/5.
    c) Pour faire la somme, on trouve un dénominateur commun. Ici, le dénominateur commun est 20 :   3/2 = 30/20, 1/4 = 5/20, 2/5 = 8/20.
     Donc, 30/20 – 5/20 – 8/20 = (30 – 5 – 8)/20 = 17/20.

2. Calcul du dénominateur :  a) Calculez 3/2 – 5/6.
     Pour cela, mettons sur dénominateur 6 :
     3/2 = 9/6, donc 9/6 – 5/6 = 4/6 = 2/3.  b) Multipliez par 3/10 :
     (2/3) × (3/10) = 6/30 = 1/5.  c) Soustrayez 2/5 :
     1/5 – 2/5 = –1/5.

3. Division finale :   L’expression devient : (17/20) ÷ (–1/5) = (17/20) × (–5/1).
     Calcul : –85/20 = –17/4 (après simplification).

Réponse de l’exercice 3 : –17/4.

────────────────────────────── Exercice 4 – Expression :   [ (–1/2)³ + (5/12) × (–3/2) ] ÷ [ 4 ÷ (16/5) – 5/2 ]

1. Calcul du numérateur :  a) (–1/2)³ = –1/8.  b) (5/12) × (–3/2) = –15/24 = –5/8.  c) Somme : –1/8 + (–5/8) = –6/8 = –3/4.

2. Calcul du dénominateur :  a) Effectuez la division : 4 ÷ (16/5) = 4 × (5/16) = 20/16 = 5/4.  b) Ensuite, soustrayez 5/2.
     Pour cela, mettez sur dénominateur 4 :
     5/2 = 10/4.
     Donc, 5/4 – 10/4 = –5/4.

3. Division finale :   L’expression devient : (–3/4) ÷ (–5/4) = (–3/4) × (–4/5) = 12/20 = 3/5   (car le signe négatif se compense et 12/20 se simplifie).

Réponse de l’exercice 4 : 3/5.

────────────────────────────── Exercice 5 – Expression :   [ (+4/5) + (+2/5) × (–2/3) – (–1/6) ] ÷ [ 0,8 × (3/5 – 1) ]

1. Calcul du numérateur :  a) Calculez le produit :
     (2/5) × (–2/3) = –4/15.  b) Remarquez que soustraire (–1/6) revient à ajouter 1/6.  c) Additionnez alors :
     4/5 + (–4/15) + 1/6.  d) Pour additionner, mettez sur un dénominateur commun. Prenons 30 :
     4/5 = 24/30, 4/15 = 8/30, 1/6 = 5/30.  e) Donc : 24/30 – 8/30 + 5/30 = (24 – 8 + 5)/30 = 21/30 = 7/10.

2. Calcul du dénominateur :  a) Convertissez 0,8 en fraction : 0,8 = 4/5.  b) Calculez (3/5 – 1) :
     3/5 – 1 = 3/5 – 5/5 = –2/5.  c) Multipliez :
     (4/5) × (–2/5) = –8/25.

3. Division finale :   L’expression devient : (7/10) ÷ (–8/25) = (7/10) × (25/(–8)).
     Calcul : (7 × 25) / (10 × (–8)) = 175/(–80) = –175/80.   Simplifiez en divisant numérateur et dénominateur par 5 : –35/16.

Réponse de l’exercice 5 : –35/16.

────────────────────────────── Exercice 6 – Expression :   { [ (–2/3) + (–1/4) ] ÷ [ (–2/3) × (–1/4) ] } × (–2/3) + (–1/4)

1. Calcul de la fraction initiale :  a) Numérateur :
     (–2/3) + (–1/4) = –2/3 – 1/4.
     Pour additionner, utilisez un dénominateur commun (ici 12) :
     –2/3 = –8/12 et –1/4 = –3/12.
     Donc, –8/12 – 3/12 = –11/12.  b) Dénominateur :
     (–2/3) × (–1/4) = 2/12 = 1/6.  c) La fraction devient : (–11/12) ÷ (1/6) = (–11/12) × 6 = –66/12 = –11/2.

2. Multiplication par (–2/3) :   –11/2 × (–2/3) = 22/6 = 11/3.

3. Addition de (–1/4) :   11/3 + (–1/4) = 11/3 – 1/4.   Pour soustraire, mettez sur un dénominateur commun, ici 12 :
     11/3 = 44/12 et 1/4 = 3/12.   Donc, 44/12 – 3/12 = 41/12.

Réponse de l’exercice 6 : 41/12.

────────────────────────────── Récapitulatif des réponses :

1. 18/11
   
2. –4/75
   
3. –17/4
   
4. 3/5
   
5. –35/16
   
6. 41/12

Chaque exercice a été résolu en effectuant les opérations dans l’ordre indiqué (parenthèses, exponentiation, multiplication/division, puis addition/soustraction). Ces méthodes permettent de simplifier pas à pas l’expression et d’arriver à la forme la plus simple de la réponse.